【波导】——理解群速度和相速度

概述

　对于接受阵的某个阵元来说，其空间位置固定，接收到的是声场时域信号。
　在理想波导中，我们假设声源是单频的，推导出了声场的表达式，是由可以传播的各号简正波叠加而成：
$p(z,r;\omega)=\sum_{n=1}^{N}\sqrt{\frac{2\pi}{k_{rn}r}}\varphi_{n}(k_{zn}z_0)\varphi_{n}(k_{zn}z)e^{-jk_{rn}r}$p(z,r;ω)=n=1∑N​krn​r2π​​φn​(kzn​z0​)φn​(kzn​z)e−jkrn​r
　其中$\varphi_{n}$φn​是垂直方向上的模态函数，影响该垂直位置的柱面波的振幅。各号模态函数的分布如下图所示，n号简正波的模态函数有n-1个零点：
　

单频信号

我们取某一阵元的深度$z_h$zh​，考虑第一号简正波和第二号简正波的区别，首先写出它们的表达式(依旧考虑单频声源)：
　$p_1(r;t)=B_1\varphi_{1}(k_{z1}z_0)\varphi_{1}(k_{z1}z_h)e^{j(\omega t-k_{r1}r)}$p1​(r;t)=B1​φ1​(kz1​z0​)φ1​(kz1​zh​)ej(ωt−kr1​r)$p_2(r;t)=B_2\varphi_{2}(k_{z2}z_0)\varphi_{2}(k_{z2}z_h)e^{j(\omega t-k_{r2}r)}$p2​(r;t)=B2​φ2​(kz2​z0​)φ2​(kz2​zh​)ej(ωt−kr2​r)
　可以发现，如果固定水平位置$r$r，即在一个阵元上接收到的时域信号的频率是相同的，不同号简正波的差别在振幅和初相位；而固定时间$t$t，即在某一时刻，不同号简正波在空间上的重复不一样(也就是水平波数)，当然振幅和初相位也不同。
　
　这里就可以引入相速度的概念，即同一相位的传播速度。对于固定深度的某一号简正波，其相位可以表示为$\omega t-k_{r}r$ωt−kr​r，故其相速度为：
　$c_{pn}=\frac{w}{k_r}=\frac{c_0}{\sqrt{1-(\frac{k_{zn}}{k_0})^2}}$cpn​=kr​w​=1−(k0​kzn​​)2​c0​​
　对应的也就是该深度处该号简正波的传播速度。所以如果是单频声源，那么不同号简正波可以通过不同的传播速度区分开来。

宽带信号

如果声源的频谱是存在一定的带宽的，根据傅里叶变换对，信号可以写成多个单频的简谐波叠加的形式，对于简谐波依旧可以用简正波理论去进行研究。
　$p(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{\omega_0}^{\omega_0+\triangle \omega}p(\omega)e^{j\omega t}{\rm d \omega}$p(t)=2π1​∫ω0​ω0​+△ω​p(ω)ejωtdω
　所以声场是由不同号简正波叠加形成，而每一号简正波又是通过不同频率的简谐柱面波叠加而成，这里选取某一号简正波来进行研究，我们知道它是由不同频率的简谐柱面波叠加得到的，所以可以进行傅里叶分解。
　$p_n(t,r)=\frac{1}{2\pi}\int_{\omega_0}^{\omega_0+\triangle \omega}S(\omega)p_n(\omega)e^{j\omega t}{\rm d \omega}$pn​(t,r)=2π1​∫ω0​ω0​+△ω​S(ω)pn​(ω)ejωtdω$p_n(\omega)=\sqrt{\frac{2\pi}{k_{rn}r}}\varphi_{n}(k_{zn}z_0)\varphi_{n}(k_{zn}z_h)e^{-jk_{rn}r}$pn​(ω)=krn​r2π​​φn​(kzn​z0​)φn​(kzn​zh​)e−jkrn​r
　因为是同一号简正波，所以$k_{zn}$kzn​相同，$k_{rn}$krn​随频率而变，而$S(\omega)$S(ω)则是频谱密度，仅与频率有关，与简正波号数无关。不同频率的简谐波叠加会有拍现象，形成波包：
　
　对叠加信号进行分解，将$\omega(k_r)$ω(kr​)在$k_{r0}$kr0​处泰勒展开$\omega(k_r)=\omega_0+\frac{d \omega}{d k_{r0}}(k_r-k_{r0})$ω(kr​)=ω0​+dkr0​dω​(kr​−kr0​)：
　$f(t,r)=\int c(\omega)e^{j(\omega t-k_r r)}{\rm d \omega}$f(t,r)=∫c(ω)ej(ωt−kr​r)dω$f(t,r)=\int c(\omega)e^{j(\omega_0+\frac{d \omega}{d k_r}(k_r-k_{r0})) t} e^{-j(k_{r0}+k_r-k_{r0} )r}{\rm d \omega}$f(t,r)=∫c(ω)ej(ω0​+dkr​dω​(kr​−kr0​))te−j(kr0​+kr​−kr0​)rdω$f(t,r)=c(\omega_0) e^{j(\omega_0 t-k_{r0}r)}\int e^{j(k_{r0}-k_r )(\frac{d \omega}{d k_r}t-r)}{\rm d \omega}$f(t,r)=c(ω0​)ej(ω0​t−kr0​r)∫ej(kr0​−kr​)(dkr​dω​t−r)dω$\frac{d \omega}{d k_r}|_{k_r=k_{r0}}=const$dkr​dω​∣kr​=kr0​​=const
　个人理解，上式是信号的频带在较窄的情况进行线性展开的近似，前一项是调制，后一项是波包。是对这一号简正波的近似。
　由此引出群速度的定义：
　$c_{gn}=\frac{dw}{dk_r}=c_0 \sqrt{1-(\frac{k_{zn}}{k_0})^2}$cgn​=dkr​dw​=c0​1−(k0​kzn​​)2​
　物理意义是该号简正波能量的传播速度，也可以理解为振幅的传播速度or波包的传播速度。相速度大于群速度，如果相位传过去了，但振幅没有传过去，能量还是没有传过去。

模间频散与模内频散

模间频散：不同号简正波的群速度不同，号数低的跑得快

模内频散：同一号简正波，频率高的跑得快(频率高的相速度大)