Puzzle栏目开通

生活中经常做到有意思的题目，自己也会有些巧妙的解法。当时不记下来很快会忘记，非常可惜。所以我在博客里开了Puzzle这个栏目，记录有意思的谜题。那么这个栏目的第一题，就献给今天早上刚刚出炉的IMO 2017吧。

IMO 2017 T1解答

先看看题目

题意不复杂，定义一个数列。问初值符合的条件使得题设成立。

首先要观察到，题设条件等价于去掉有限项开始循环，这个数列循环的部分不会太大，因为开根号这个运算衰减地太快了。既然题设条件如此强，我们就按照题设条件来求出一个初值的必要条件。要注意做题要利用根号衰减地快保证循环节不会太大，所以必定要利用数论性质进行不等式放缩。我的解答就按照这个思路写出了第一部分。

第一部分得到了初值的必要条件和此时的循环节必然为3，6，9。再证明第二部分充分性。

那么，首先一个合理的思路是证明必然会出现3，6，9。如果直接用不等式放缩那就很麻烦，因为题设实在太强了，保证有限次加3后必然开根号衰减，这是不等式放缩的基础，如果没有题设，证明起来手段就很弱。所以我们干脆反证法，因为有限次加3后必然开根号的反面几乎和题设一样强：无限次加3不出现平方数，这是不可能的。所以我们可以方便地写出几乎完全利用第一部分的解答。

作为IMO的第一题，难度比CMO还略低一点，但是相比CMO，感觉题目明显更有趣，出得更好。这个解法的出发点其实很简单，就是依赖开根号衰减的数学直觉，关键是怎么用不等式描述自己的想法。