最大玻尔兹曼分布的mASK信号在AWGN信道下的容量计算

考虑mASK调制格式在AWGN信道下的容量，信道模型为Y=a*X+n。

其中X为发送的mASK符号，{±1，±3，...，±2^m-1}，n为加性高斯白噪声，a为信号扩展因子，Y为接收信号。这里我们假设噪声功率为1，因此可以通过改变扩展因子a的大小改变信噪比。互信息的计算公式如下

                         （1）

我的前两篇博文介绍了mASK符号均匀分布情况下的互信息计算。但是均匀分布情况下计算得到的互信息与香农容限还是有一定差距的，为了缩短与香农容限的差距，本文通过改变mASK的分布规律来提升互信息，即改变公式（1）中的p(k)来提升互信息。

引入最大玻尔兹曼分布来作为最优分布，该分布规律满足如下式

                                           （2）

对于确定的扩展因子a，参数v的取值需收到发射功率限制，即

                                                         (3)

而信号的平均功率，E[(Xv)^2]，是关于v严格单调递减的，因此对于给定的功率P和扩展因子a，v可以唯一确定。本文采用二分法确定v。

因此只需要在给定的功率下确定扩展因子a，即可计算互信息，问题简化为

                                                    （4）

而在给定的发射功率下，公式（4）是关于扩展因此a的严格凸函数，即a只有一个取值使其达到最大值，可采用最优化中的黄金分割法寻找最大值。

具体的mASK在最大玻尔兹曼分布下的容量计算如下：

局部放大图

主要参考文献:

[1] Ungerboeck G. Channel coding with multilevel/phase signals[J]. IEEE transactions on Information Theory, 1982, 28(1): 55-67.

[2]Böcherer G, Steiner F, Schulte P. Bandwidth efficient and rate-matched low-density parity-check coded modulation[J]. IEEE Transactions on Communications, 2015, 63(12): 4651-4665.

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