PAC学习框架（模型）

学习框架背景：

PAC 模型的作者是Leslie Valiant ，因此获得2010 年图灵奖。

最初PAC（probably approximately correct）学习框架针对的是二元分类问题（原装版），用严格的数学语言描述了可“学习”性。

• 对于一个输入空间X（instance space），X上的一个概念（conception）C是X上的一个子集。或者说C是X到集合{0,1}的映射（或函数），这样用C−1(1)来表示X中函数值为1的全体（注意：这里只是一个记号，不等同于数学中的逆函数，因为逆函数有更严格的条件，扯远了））。显然这些元素的全体是X的子集。这样就把子集和X到{0,1}的映射一一对应了。
• 如果有另外一个函数C′：X−>{0,1}，那么我们如何度量两个函数之间的“差异”，或者用数学的语言描述就是“距离”。（用“距离”过于严格，想想应该用“度量”，引入距离概念疑似给函数集合引入拓扑结构，扯远了）。在函数集合上引入度量的概念，更一般，应该用《测度论》中的“测度”这个词。由于集合和函数对等，其实就是集合上我们引入了测度的概念。

• 这样我们在X的子集空间上引入了测度μ。那么两个函数的差异就可以写成：

  μ(C,C′)=μ(C(X)≠C′(X))

  写成集合的形式：μ(C,C′)=μ(CΔC′)

  这样“学习”的问题就转换成：对于了二元分类目标函数：C：X−>{0,1}，给定一个误差范围ϵ0，找一个近似于目标函数的近似函数C′。使得：μ(CΔC′)<ϵ0

PAC学习框架的严格定义：

• （1）PAC可学习性的定义。这里没有考虑算法的复杂度。

• 对于任意的f∈C（假设空间）,任意的测度（概率分布）D,任意的ϵ∈[0,1/2),任意δ∈[0,1),存在算法L使得有1−δ的几率（概率）得到一个近似h,满足D(f,h)<ϵ。

• （2）有效PAC可学习性的定义。这里限制了算法复杂度。

  算法L的运行时间复杂度关于 n(输入空间的维度)、1/ϵ、1/δ 以及C的大小是多项式的。

PAC学习框架和统计学习理论的差异和联系

1、PAC对算法引入了成功率的属性，即允许算法在一定几率下可以失败，这和统计学习中经验误差的要求很类似。但是统计学习中对经验误差有最小化要求（目标化）。而PAC是给定这个阀值要求，然后去学习寻找近似函数（前提、条件化）。

2、方法论上的差异：PAC学习没有统计学习中的训练集和测试集的概念。统计学习在训练集上刻画和度量目标函数和学习函数的差异。

强可学习与弱可学习

​ 在PAC学习架构下有两个概念。

• 1、强可学习。在PAC定义中，如果C是有效PAC可学习的（efficient PAC learnability），这里δ∈[0,1/2)。所以说学习成功率很高，至少大于0.5。
• 2、弱可学习。强可学习的条件下，对错误率有了限定。错误率必须低于0.5（就是至少要比随机猜测要强吧）。
• 3、后来证明在PAC学习架构下强可学习和弱可学习是充分必要条件（即等价）。

后话

• 现在很多材料就说统计学习中的Boosting方法是受这一等价条件的启发。其实两个是不同的学习架构。而且Boosting这种朴素的思想是容易被考虑（比如我们中国就有俗语：三个臭皮匠抵上一个诸葛亮），只是形成具体算法需要巧妙构思。当然是不是真的受这个等价条件启发，还是要问Adaboosting算法设计作者（Yoav Freund 和 Robert Schapire）。

• 写这篇文章起因也是想看看Adaboosting算法的思想起源。