连续时间复指数信号

e j w 0 t e^{jw_0t} ejw0​t

是否为周期信号？ x ( t ) = x ( t + T ) x(t) = x(t+T) x(t)=x(t+T) 现假设 x ( t ) = e j w 0 t x(t) = e^{jw_0t} x(t)=ejw0​t
e j w 0 t = e j w 0 ( t + T ) e^{jw_0t}=e^{jw_0(t+T)} ejw0​t=ejw0​(t+T)
当且仅当 w 0 T = 2 π → T = 2 π w 0 w_0T=2\pi\rightarrow T=\frac{2\pi}{w_0} w0​T=2π→T=w0​2π​

w 0 = 0 w_0=0 w0​=0 无基波周期

w 0 ≠ 0 , T = 2 π w 0 w_0 \neq 0, T=\frac{2\pi}{w_0} w0​​=0,T=w0​2π​

一组基波 w 0 w_0 w0​的整数倍构成的信号：
ϕ k ( t ) = e j k w 0 t k = 0 , ± 1 , ± 2 ⋯ \phi_k(t)=e^{jkw_0t}\quad k=0,\pm1,\pm2\cdots ϕk​(t)=ejkw0​tk=0,±1,±2⋯
x ( t ) x(t) x(t)信号由若干的复指数信号构成，如
x ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ a k e j k w 0 t x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jkw_0t} x(t)=k=−∞∑∞​ak​ejkw0​t
我们可以得到傅立叶系数 FS
a k = 1 T ∫ T x ( t ) e − j k w 0 t d t a_k=\frac{1}{T}\int_Tx(t)e^{-jkw_0t}dt ak​=T1​∫T​x(t)e−jkw0​tdt
证明过程：

例题：


傅立叶级数的性质

离散时间复指数信号

e j w 0 n e^{jw_0n} ejw0​n

上面 n n n只能取整数。
e j ( w 0 + 2 π ) n = e j 2 π n e j w 0 n = e j w 0 n e^{j(w_0+2\pi)n} = e^{j2\pi n}e^{jw_0n} = e^{jw_0n} ej(w0​+2π)n=ej2πnejw0​n=ejw0​n
上述式子表明 w 0 w_0 w0​和 w 0 + 2 π w_0 + 2\pi w0​+2π 一样，因此 w 0 w_0 w0​的不断增加并不是和振荡增加对应

在 w 0 = π w_0 = \pi w0​=π的时候，有
e j π n = ( e j π ) n = ( − 1 ) n e^{j\pi n} =(e^{j\pi})^n=(-1)^n ejπn=(ejπ)n=(−1)n
此时信号在每一点都符号都发生变化。

是否周期信号? x [ n ] = x [ n + N ] x[n]=x[n+N] x[n]=x[n+N]，现 x [ n ] = e j w 0 n x[n]=e^{jw_0n} x[n]=ejw0​n
e j w 0 ( n + N ) = e j w 0 n e^{jw_0(n+N)} = e^{jw_0n} ejw0​(n+N)=ejw0​n
则保证
e j w 0 N = 1 e^{jw_0N} = 1 ejw0​N=1
则
w 0 N = 2 π m w_0 N = 2\pi m w0​N=2πm
即
N = 2 π m w 0 N=\frac{2\pi m}{w_0} N=w0​2πm​
要 N N N为整数，则 w 0 2 π = m N \frac{w_0}{2\pi}=\frac{m}{N} 2πw0​​=Nm​为有理数，则该信号为周期。若 m m m和 N N N无公因子，则周期为 N N N


比较：

我们现在构建一组基波周期为 N N N的离散信号为
ϕ k [ n ] = e j k w 0 n = e j k 2 π N n k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ \phi_k[n] = e^{jkw_0n}=e^{jk\frac{2\pi}{N}n}\quad k=0,\pm1,\pm2,\cdots ϕk​[n]=ejkw0​n=ejkN2π​nk=0,±1,±2,⋯

x [ n ] = ∑ k a k ϕ k [ n ] = ∑ k a k e j k w 0 n = ∑ k a k e j k 2 π N n x[n]=\sum_ka_k\phi_k[n]=\sum_ka_ke^{jkw_0n}=\sum_ka_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n} x[n]=k∑​ak​ϕk​[n]=k∑​ak​ejkw0​n=k∑​ak​ejkN2π​n
由于有 ϕ k [ n ] = ϕ k + r N [ n ] \phi_k[n]=\phi_{k+rN}[n] ϕk​[n]=ϕk+rN​[n]，则 k k k只在 N N N个相继值区间频率是不相同的， k k k可取 0 , ⋯   , N − 1 0,\cdots,N-1 0,⋯,N−1，也可以取 3 , 4 , ⋯   , N + 2 3,4,\cdots,N+2 3,4,⋯,N+2

则
x [ n ] = ∑ k = 0 N − 1 a k ϕ k [ n ] = ∑ k = 0 N − 1 a k e j k w 0 n = ∑ k = 0 N − 1 a k e j k 2 π N n x[n] = \sum_{k=0}^{N-1}a_k\phi_k[n]=\sum_{k=0}^{N-1}a_ke^{jkw_0n}=\sum_{k=0}^{N-1}a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n} x[n]=k=0∑N−1​ak​ϕk​[n]=k=0∑N−1​ak​ejkw0​n=k=0∑N−1​ak​ejkN2π​n
我们可以计算出离散时间傅立叶系数DFS：
a k = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] e − j k w 0 n − ∞ < k < ∞ a_k = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jkw_0n}\quad -\infty < k < \infty ak​=N1​n=0∑N−1​x[n]e−jkw0​n−∞<k<∞
证明过程：

例题：


离散时间傅立叶级数性质

连续时间傅立叶变换（FT）

非周期信号：

周期矩形波：

a k = 1 T S a ( 2 k π w 0 T 1 ) a_k = \frac{1}{T}Sa(\frac{2k\pi w_0}{T_1}) ak​=T1​Sa(T1​2kπw0​​)

T a k = S a ( 2 π w T 1 ) Ta_k = Sa(\frac{2\pi w}{T_1}) Tak​=Sa(T1​2πw​)

我们可以将式(17)看成式(18)的包络函数的样本。

我们先把周期信号表示成
x ~ ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ a k e j k w 0 t \tilde{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jkw_0t} x~(t)=k=−∞∑∞​ak​ejkw0​t

a k = 1 T ∫ − T 2 T 2 x ~ ( t ) e j k w 0 t d t a_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\tilde{x}(t)e^{jkw_0t}dt ak​=T1​∫−2T​2T​​x~(t)ejkw0​tdt

我们将其变化到非周期的，在 ∣ t ∣ < T 2 |t|<\frac{T}{2} ∣t∣<2T​时， x ~ ( t ) = x ( t ) \tilde{x}(t)=x(t) x~(t)=x(t)
a k = 1 T ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j k w 0 t d t a_k=\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jkw_0t}dt ak​=T1​∫−∞∞​x(t)e−jkw0​tdt
则，定义 T a k Ta_k Tak​的包络 X ( j w ) X(jw) X(jw)为
X ( j w ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j w t d t X(jw)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jwt}dt X(jw)=∫−∞∞​x(t)e−jwtdt

a k = 1 T X ( j k w 0 ) a_k=\frac{1}{T}X(jkw_0) ak​=T1​X(jkw0​)

其实周期信号的傅立叶变换也可以得到
x ~ ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ 1 T X ( j k w 0 ) e j k w 0 t \tilde{x}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T}X(jkw_0)e^{jkw_0t} x~(t)=k=−∞∑∞​T1​X(jkw0​)ejkw0​t
由 2 π T = w 0 \frac{2\pi}{T}=w_0 T2π​=w0​，则
x ~ ( t ) = 1 2 π ∑ k = − ∞ ∞ X ( j k w 0 ) e j k w 0 t w 0 \tilde{x}(t)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(jkw_0)e^{jkw_0t}w_0 x~(t)=2π1​k=−∞∑∞​X(jkw0​)ejkw0​tw0​
由于 T → ∞ T\rightarrow \infty T→∞， w 0 → 0 w_0\rightarrow0 w0​→0， x ~ ( t ) → x ( t ) \tilde{x}(t)\rightarrow x(t) x~(t)→x(t)，其实就是变成积分
x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( j w ) e j w t d w x(t)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(jw)e^{jwt}dw x(t)=2π1​∫−∞∞​X(jw)ejwtdw

X ( j w ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j w t d t X(jw)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jwt}dt X(jw)=∫−∞∞​x(t)e−jwtdt

周期信号：

e j w 0 t ↔ 2 π δ ( w − w 0 ) e^{jw_0t}\leftrightarrow 2\pi\delta(w-w_0) ejw0​t↔2πδ(w−w0​)
周期信号:
X ( j w ) = ∑ k = − ∞ ∞ 2 π a k δ ( w − k w 0 ) X(jw) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}2\pi a_k\delta(w-kw_0) X(jw)=k=−∞∑∞​2πak​δ(w−kw0​)
逆变换：
x ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ a k e j k w 0 t x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jkw_0t} x(t)=k=−∞∑∞​ak​ejkw0​t

傅立叶变换性质

常用傅立叶变换

离散时间傅立叶变换（DTFT）

非周期信号

从离散时间周期信号 x ~ [ n ] \tilde{x}[n] x~[n]
x ~ [ n ] = ∑ k = 0 N − 1 a k e j k 2 π N n \tilde{x}[n]=\sum_{k=0}^{N-1}a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n} x~[n]=k=0∑N−1​ak​ejkN2π​n
a k = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ~ [ n ] e − j k 2 π N n a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\tilde{x}[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n} ak​=N1​n=0∑N−1​x~[n]e−jkN2π​n

变为非周期，即使 − N 1 ≤ n ≤ N 2 -N_1\leq n \leq N_2 −N1​≤n≤N2​的区间，使得 x [ n ] = x ~ [ n ] x[n] = \tilde{x}[n] x[n]=x~[n]，这时候上下限可以变化
a k = 1 N ∑ n = − N 1 N 2 x [ n ] e − j k 2 π N n = 1 N ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − j k 2 π N n a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=-N_1}^{N_2}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}=\frac{1}{N}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n} ak​=N1​n=−N1​∑N2​​x[n]e−jkN2π​n=N1​n=−∞∑∞​x[n]e−jkN2π​n
则定义为
X ( e j w ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e j w n X(e^{jw}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{jwn} X(ejw)=n=−∞∑∞​x[n]ejwn
则 a k a_k ak​和 X ( e j w ) X(e^{jw}) X(ejw)之间的关系是：
a k = 1 N X ( e j k w 0 ) a_k = \frac{1}{N}X(e^{jkw_0}) ak​=N1​X(ejkw0​)
代入
x ~ [ n ] = ∑ k = 0 N − 1 1 N X ( e j k w 0 ) e j k w 0 n \tilde{x}[n] = \sum_{k=0}^{N-1}\frac{1}{N}X(e^{jkw_0})e^{jkw_0n} x~[n]=k=0∑N−1​N1​X(ejkw0​)ejkw0​n
w 0 = 2 π N w_0=\frac{2\pi}{N} w0​=N2π​即 1 N = w 0 2 π \frac{1}{N}=\frac{w_0}{2\pi} N1​=2πw0​​，则
x ~ [ n ] = 1 2 π ∑ n = 0 N − 1 X ( e j k w 0 ) e j k w 0 n w 0 \tilde{x}[n]=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=0}^{N-1}X(e^{jkw_0})e^{jkw_0n}w_0 x~[n]=2π1​n=0∑N−1​X(ejkw0​)ejkw0​nw0​

x [ n ] = 1 2 π ∫ 2 π X ( e j w ) e j w n d w x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw x[n]=2π1​∫2π​X(ejw)ejwndw

周期信号：

x [ n ] = e j w 0 n x[n] = e^{jw_0n} x[n]=ejw0​n

X ( e j w ) = ∑ l = − ∞ ∞ 2 π δ ( w − w 0 − 2 π l ) X(e^{jw})=\sum_{l=-\infty}^{\infty}2\pi\delta(w-w_0-2\pi l) X(ejw)=l=−∞∑∞​2πδ(w−w0​−2πl)

验证：

周期信号：
x [ n ] = ∑ k = 0 N − 1 a k e j k 2 π N n x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n} x[n]=k=0∑N−1​ak​ejkN2π​n


离散时间傅立叶变换
X ( e j w ) = ∑ k = − ∞ ∞ 2 π a k δ ( w − 2 π k N ) X(e^{jw})=\sum_{k=-\infty}^{\infty}2\pi a_k\delta(w-\frac{2\pi k}{N}) X(ejw)=k=−∞∑∞​2πak​δ(w−N2πk​)

离散时间傅立叶变换性质

采样

连续时间信号的采样

x p ( t ) = x ( t ) p ( t ) x_p(t)=x(t)p(t) xp​(t)=x(t)p(t)

p ( t ) p(t) p(t)为冲激串函数， T T T为采样周期， p ( t ) p(t) p(t)的基波频率 w s = 2 π T w_s=\frac{2\pi}{T} ws​=T2π​，也叫采样频率
p ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T ) p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT) p(t)=n=−∞∑∞​δ(t−nT)

x p ( t ) = ∑ n = = − ∞ ∞ x ( n T ) δ ( t − n T ) x_p(t)=\sum_{n==-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT) xp​(t)=n==−∞∑∞​x(nT)δ(t−nT)
时域相乘特性：频域卷积
X p ( j w ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( j w ) P ( j ( w − θ ) ) d θ X_p(jw) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(jw)P(j(w-\theta))d\theta Xp​(jw)=2π1​∫−∞∞​X(jw)P(j(w−θ))dθ
由于
P ( j w ) = 2 π T ∑ k = − ∞ ∞ δ ( w − k w s ) P(jw) = \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(w-kw_s) P(jw)=T2π​k=−∞∑∞​δ(w−kws​)
则 X ( j w ) ∗ δ ( w − w 0 ) = X ( j ( w − w 0 ) ) X(jw)*\delta(w-w_0) =X(j(w-w_0)) X(jw)∗δ(w−w0​)=X(j(w−w0​))
X p ( j w ) = 1 T ∑ k = − ∞ ∞ X ( j ( w − k w s ) ) X_p(jw)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(j(w-kw_s)) Xp​(jw)=T1​k=−∞∑∞​X(j(w−kws​))

如何从抽样信号恢复出原始信号 内插

欠采样

*

若信号为
x ( t ) = c o s ( w 0 t + ϕ ) x(t) = cos(w_0t+\phi) x(t)=cos(w0​t+ϕ)

x r ( t ) = c o s [ ( w s − w 0 ) t − ϕ ] x_r(t)=cos[(w_s-w_0)t-\phi] xr​(t)=cos[(ws​−w0​)t−ϕ]

连续和离散之间联系

现在构建一下连续和离散之间的关系，我们把 x c ( t ) x_c(t) xc​(t)和 y c ( t ) y_c(t) yc​(t)的连续时间傅立叶变换用 X c ( j w ) X_c(jw) Xc​(jw)和 Y c ( j w ) Y_c(jw) Yc​(jw)表示，把 x d [ n ] x_d[n] xd​[n]和 y d [ n ] y_d[n] yd​[n]的离散时间傅立叶变换用 X d ( e j Ω ) X_d(e^{j\Omega}) Xd​(ejΩ)和 Y d ( e j Ω ) Y_d(e^{j\Omega}) Yd​(ejΩ)表示

x p ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ x c ( n T ) δ ( t − n T ) x_p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_c(nT)\delta(t-nT) xp​(t)=n=−∞∑∞​xc​(nT)δ(t−nT)

X p ( j w ) = ∑ n = − ∞ ∞ x c ( n T ) e − j w n T X_p(jw)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_c(nT)e^{-jwnT} Xp​(jw)=n=−∞∑∞​xc​(nT)e−jwnT

由于 x d [ n ] x_d[n] xd​[n]的离散时间傅立叶变换为
X d ( e j Ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x d [ n ] e − j Ω n X_d(e^{j\Omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_d[n]e^{-j\Omega n} Xd​(ejΩ)=n=−∞∑∞​xd​[n]e−jΩn
我们可以得到
X d ( e j Ω ) = X p ( j Ω T ) X_d(e^{j\Omega})=X_p(\frac{j\Omega}{T}) Xd​(ejΩ)=Xp​(TjΩ​)
之前我们得到
X p ( j w ) = 1 T ∑ k = − ∞ ∞ X c ( j ( w − w s ) ) X_p(jw)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_c(j(w-w_s)) Xp​(jw)=T1​k=−∞∑∞​Xc​(j(w−ws​))
可以变为
X d ( e j Ω ) = 1 T ∑ k = − ∞ ∞ X c ( j ( Ω − 2 π k T ) ) X_d(e^{j\Omega})=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_c(j(\Omega-\frac{2\pi k}{T})) Xd​(ejΩ)=T1​k=−∞∑∞​Xc​(j(Ω−T2πk​))
其实就是个频率坐标转换，将 w = Ω T w=\Omega T w=ΩT，我们从下图得到 X ( e j Ω ) X(e^{j\Omega}) X(ejΩ)是 X p ( j w ) X_p(jw) Xp​(jw)的重复，且是 Ω \Omega Ω的周期函数，周期为 2 π 2\pi 2π.

我们作出如下理解

离散时间信号采样

我们通过对 x [ n ] x[n] x[n]进行采样得到新的序列 x p [ n ] x_p[n] xp​[n]，在采样周期为 N N N的时候有值，而采样点之间为0

我们根据上面可以写出
x p [ n ] = x [ n ] p [ n ] = ∑ k = − ∞ ∞ x [ k N ] δ [ n − k N ] x_p[n]=x[n]p[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[kN]\delta[n-kN] xp​[n]=x[n]p[n]=k=−∞∑∞​x[kN]δ[n−kN]

X p ( e j w ) = 1 2 π ∫ 2 π P ( e j θ ) ( X ( e j ( w − θ ) ) d θ X_p(e^{jw})=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}P(e^{j\theta})(X(e^{j(w-\theta}))d\theta Xp​(ejw)=2π1​∫2π​P(ejθ)(X(ej(w−θ))dθ

P ( e j w ) = 2 π N ∑ k = − ∞ ∞ δ ( w − k w s ) P(e^{jw})=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(w-kw_s) P(ejw)=N2π​k=−∞∑∞​δ(w−kws​)
X p ( e j w ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X ( e j ( w − k w s ) ) X_p(e^{jw})=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(e^{j(w-kw_s)}) Xp​(ejw)=N1​k=0∑N−1​X(ej(w−kws​))

在采样周期的整数倍点上总是相等的
x r [ k N ] = x [ k N ] , k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ x_r[kN]=x[kN], \quad k=0,\pm1,\pm2,\cdots xr​[kN]=x[kN],k=0,±1,±2,⋯

离散时间抽取与内插

x p [ n ] x_p[n] xp​[n]在采样点之间都是0，用一个新的序列 x b [ n ] x_b[n] xb​[n]表示 x p [ n ] x_p[n] xp​[n]每隔 N N N点的序列值，这一过程叫抽取，也叫减采样。
x b [ n ] = x p [ n N ] x_b[n]=x_p[nN] xb​[n]=xp​[nN]

X b ( e j w ) = ∑ k = − ∞ ∞ x b [ k ] e − j w k X_b(e^{jw})=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_b[k]e^{-jwk} Xb​(ejw)=k=−∞∑∞​xb​[k]e−jwk

X b ( e j w ) = ∑ k = − ∞ ∞ x p [ k N ] e − j w k X_b(e^{jw})=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_p[kN]e^{-jwk} Xb​(ejw)=k=−∞∑∞​xp​[kN]e−jwk

令 n = k N n=kN n=kN则
X b ( e j w ) = ∑ n 为 N 的 整 数 倍 x p [ n ] e − j w n N X_b(e^{jw})=\sum_{n为N的整数倍}x_p[n]e^{-\frac{jwn}{N}} Xb​(ejw)=n为N的整数倍∑​xp​[n]e−Njwn​
由于当 n n n不为 N N N的整数倍时， x p [ n ] = 0 x_p[n]=0 xp​[n]=0，则
X b ( e j w ) = ∑ n = − ∞ ∞ x p [ n ] e − j w n N = X p ( e j w N ) X_b(e^{jw})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_p[n]e^{-\frac{jwn}{N}}=X_p(e^{\frac{jw}{N}}) Xb​(ejw)=n=−∞∑∞​xp​[n]e−Njwn​=Xp​(eNjw​)

总结

1. 周期连续信号傅立叶级数

x ~ ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ a k e j k w 0 t \tilde{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jkw_0t} x~(t)=k=−∞∑∞​ak​ejkw0​t

a k = 1 T ∫ − T 2 T 2 x ~ ( t ) e − j k w 0 t d t a_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\tilde{x}(t)e^{-jkw_0t}dt ak​=T1​∫−2T​2T​​x~(t)e−jkw0​tdt

2.非周期连续信号傅立叶变换

x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( j w ) e j w t d w x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(jw)e^{jwt}dw x(t)=2π1​∫−∞∞​X(jw)ejwtdw

X ( j w ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j w t d t X(jw) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jwt}dt X(jw)=∫−∞∞​x(t)e−jwtdt

推导：我们先把周期信号表示成
x ~ ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ a k e j k w 0 t \tilde{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jkw_0t} x~(t)=k=−∞∑∞​ak​ejkw0​t

a k = 1 T ∫ − T 2 T 2 x ~ ( t ) e j k w 0 t d t a_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\tilde{x}(t)e^{jkw_0t}dt ak​=T1​∫−2T​2T​​x~(t)ejkw0​tdt

我们将其变化到非周期的，在 ∣ t ∣ < T 2 |t|<\frac{T}{2} ∣t∣<2T​时， x ~ ( t ) = x ( t ) \tilde{x}(t)=x(t) x~(t)=x(t)
a k = 1 T ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j k w 0 t d t a_k=\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jkw_0t}dt ak​=T1​∫−∞∞​x(t)e−jkw0​tdt
则，定义 T a k Ta_k Tak​的包络 X ( j w ) X(jw) X(jw)为
X ( j w ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j w t d t X(jw)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jwt}dt X(jw)=∫−∞∞​x(t)e−jwtdt

a k = 1 T X ( j k w 0 ) a_k=\frac{1}{T}X(jkw_0) ak​=T1​X(jkw0​)

其实周期信号的傅立叶变换也可以得到
x ~ ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ 1 T X ( j k w 0 ) e j k w 0 t \tilde{x}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T}X(jkw_0)e^{jkw_0t} x~(t)=k=−∞∑∞​T1​X(jkw0​)ejkw0​t
由 2 π T = w 0 \frac{2\pi}{T}=w_0 T2π​=w0​，则
x ~ ( t ) = 1 2 π ∑ k = − ∞ ∞ X ( j k w 0 ) e j k w 0 t w 0 \tilde{x}(t)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(jkw_0)e^{jkw_0t}w_0 x~(t)=2π1​k=−∞∑∞​X(jkw0​)ejkw0​tw0​
由于 T → ∞ T\rightarrow \infty T→∞， w 0 → 0 w_0\rightarrow0 w0​→0， x ~ ( t ) → x ( t ) \tilde{x}(t)\rightarrow x(t) x~(t)→x(t)，其实就是变成积分
x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( j w ) e j w t d w x(t)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(jw)e^{jwt}dw x(t)=2π1​∫−∞∞​X(jw)ejwtdw

X ( j w ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j w t d t X(jw)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jwt}dt X(jw)=∫−∞∞​x(t)e−jwtdt

周期连续信号的傅立叶变换

e j k w 0 t ↔ 2 π δ ( w − k w 0 ) e^{jkw_0t} \leftrightarrow 2\pi\delta(w-kw_0) ejkw0​t↔2πδ(w−kw0​)

x ~ ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ a k e − j k w 0 t \tilde{x}(t)= \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{-jkw_0t} x~(t)=k=−∞∑∞​ak​e−jkw0​t

X ( j w ) = ∑ k = − ∞ ∞ 2 π a k δ ( w − k w 0 ) X(jw) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}2\pi a_k\delta(w-kw_0) X(jw)=k=−∞∑∞​2πak​δ(w−kw0​)

3.周期离散信号的傅立叶级数

x ~ [ n ] = ∑ k = 0 N − 1 a k e j k w 0 n \tilde{x}[n] =\sum_{k=0}^{N-1}a_ke^{jkw_0n} x~[n]=k=0∑N−1​ak​ejkw0​n

a k = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ~ [ n ] e − j k w 0 n a_k = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\tilde{x}[n]e^{-jkw_0n} ak​=N1​n=0∑N−1​x~[n]e−jkw0​n

其中 w 0 = 2 π N w_0 = \frac{2\pi}{N} w0​=N2π​ DFT就是DFS取得主值区间。

4.非周期离散信号的傅立叶变换

x [ n ] = 1 2 π ∫ 2 π X ( e j w ) e j w n d w x[n] = \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw x[n]=2π1​∫2π​X(ejw)ejwndw

X ( e j w ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − j w n X(e^{jw})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jwn} X(ejw)=n=−∞∑∞​x[n]e−jwn

推导过程：从离散时间周期信号 x ~ [ n ] \tilde{x}[n] x~[n]
x ~ [ n ] = ∑ k = 0 N − 1 a k e j k 2 π N n \tilde{x}[n]=\sum_{k=0}^{N-1}a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n} x~[n]=k=0∑N−1​ak​ejkN2π​n

a k = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ~ [ n ] e − j k 2 π N n a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\tilde{x}[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n} ak​=N1​n=0∑N−1​x~[n]e−jkN2π​n

变为非周期，即使 − N 1 ≤ n ≤ N 2 -N_1\leq n \leq N_2 −N1​≤n≤N2​的区间，使得 x [ n ] = x ~ [ n ] x[n] = \tilde{x}[n] x[n]=x~[n]，这时候上下限可以变化
a k = 1 N ∑ n = − N 1 N 2 x [ n ] e − j k 2 π N n = 1 N ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − j k 2 π N n a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=-N_1}^{N_2}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}=\frac{1}{N}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n} ak​=N1​n=−N1​∑N2​​x[n]e−jkN2π​n=N1​n=−∞∑∞​x[n]e−jkN2π​n
则定义为
X ( e j w ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e j w n X(e^{jw}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{jwn} X(ejw)=n=−∞∑∞​x[n]ejwn
则 a k a_k ak​和 X ( e j w ) X(e^{jw}) X(ejw)之间的关系是：
a k = 1 N X ( e j k w 0 ) a_k = \frac{1}{N}X(e^{jkw_0}) ak​=N1​X(ejkw0​)
代入
x ~ [ n ] = ∑ k = 0 N − 1 1 N X ( e j k w 0 ) e j k w 0 n \tilde{x}[n] = \sum_{k=0}^{N-1}\frac{1}{N}X(e^{jkw_0})e^{jkw_0n} x~[n]=k=0∑N−1​N1​X(ejkw0​)ejkw0​n
w 0 = 2 π N w_0=\frac{2\pi}{N} w0​=N2π​即 1 N = w 0 2 π \frac{1}{N}=\frac{w_0}{2\pi} N1​=2πw0​​，则
x ~ [ n ] = 1 2 π ∑ n = 0 N − 1 X ( e j k w 0 ) e j k w 0 n w 0 \tilde{x}[n]=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=0}^{N-1}X(e^{jkw_0})e^{jkw_0n}w_0 x~[n]=2π1​n=0∑N−1​X(ejkw0​)ejkw0​nw0​

x [ n ] = 1 2 π ∫ 2 π X ( e j w ) e j w n d w x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw x[n]=2π1​∫2π​X(ejw)ejwndw

周期离散信号的傅立叶变换

e j k w 0 n ↔ ∑ l = − ∞ ∞ 2 π δ ( w − k w 0 − 2 π l ) e^{jkw_0n} \leftrightarrow \sum_{l=-\infty}^{\infty}2\pi\delta(w-kw_0-2\pi l) ejkw0​n↔l=−∞∑∞​2πδ(w−kw0​−2πl)

x ~ [ n ] = ∑ k = 0 N − 1 a k e j k w 0 n \tilde{x}[n] = \sum_{k=0}^{N-1}a_ke^{jkw_0n} x~[n]=k=0∑N−1​ak​ejkw0​n

x ~ [ n ] = ∑ k = − ∞ ∞ 2 π a k δ ( w − k w 0 ) \tilde{x}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}2\pi a_k\delta(w-kw_0) x~[n]=k=−∞∑∞​2πak​δ(w−kw0​)

其中 w 0 = 2 π N w_0=\frac{2\pi}{N} w0​=N2π​