FM模型简介

FM模型的主要应用场景是点击率预估，目的是在数据高维稀疏的情况下，解决特征的组合问题。

1、造成数据稀疏高维的原因：

主要是由于ID类特征和one-hot编码以及特征之间的相互交叉引起的。以笔者所在的某安全公司的商业化业务线展示广告业务为例：主要业务是展示广告的排序，提取的特征包括tag类硬编码特征，实际就是ID类特征，维度大概在100万左右，头部tag大概集中在5万左右；还包括渠道特征，大概在500维的样子。One-hot编码后一个是100w维的特征向量，一个是500维的特征向量，两者交叉就是 5w*500 = 2500w维的特征。

2、特征组合

对于LR模型来说，特征的优化公式如下：
${w_d} = {w_d} + \eta \sum_{i=1}^{n}{x_d}^{i}\left ( {y_i}- h\left ( {x_d}^{i} \right ) \right )$wd​=wd​+η∑i=1n​xd​i(yi​−h(xd​i))
这里特征的维度是经过one-hot编码后的维度，一般都在上亿维。从公式可知，只有${x_d}^{i} \neq 0$xd​i​=0的时候（即第i和样本中包含第d个特征），${w_d}$wd​才能得到更新。所以，某个特征在训练样本中出现的次数越多，模型学习到该特征的权重置信度越高。由于广告点击本身是一个很稀疏的事件，所以在训练数据集中很多组合特征出现的次数非常少，直接导致模型对这类特征的权重学习不充分，产生过拟合。并且，LR认为所有的交叉特征是相互独立，即使两个交叉特征从业务角度讲具有关联性，比如tag_time和tag_timespand。这导致模型在优化参数的时候也是相互独立，不能充分利用特征业务上的相关性，也会给导致过拟合。FM解决的就是这个问题：如果在组合特征共现不充分的条件下，高效地学习到交叉特征？

3、FM模型

普通的线性模型公式如下：
$y= {w_0}+\sum_ {i=0}^{d}{w_i}{x_i}+\sum_{i=0}^{d}\sum_{j=i+1}^{d}{w_i}_{j}{x_i}{x_j}$y=w0​+∑i=0d​wi​xi​+∑i=0d​∑j=i+1d​wi​j​xi​xj​
只有当 x_i 和 x_j 都不为0并且出现次数足够充分的情况下，才能学下到w_ij的权重。但是上文提到在ctr场景中，特征是非常稀疏的，这意味对大多数组合特征我们学习不到置信度足够高的权重。
FM通过给每一维原子特征引入一个隐向量因子 V_j 实现对交叉特征的学习。FM的公式如下：
$y= {w_0}+\sum_ {i=0}^{d}{w_i}{x_i}+\sum_{i=0}^{d}\sum_{j=i+1}^{d}<{V_i},{V_j}>{x_i}{x_j}$y=w0​+∑i=0d​wi​xi​+∑i=0d​∑j=i+1d​<Vi​,Vj​>xi​xj​
在FM模型模型中，交叉特征的权重不在通过单个标量值来表示，而是通过一对向量内积来表示，这两个向量分别表示两个交叉特征各自的隐向量因子。这样做的好处有：
首先，对于没有出现在训练集中的交叉特征，比如 tag1_time1，LR是无法学习这个特征的权重的，但是由于FM为每一个原子特征引入了一个隐向量因子，即使tag1没有和time1一起共现，但是tag1可能和其他特征共现过很多次，同理time1也是。所以我们可以很好的学习到tag1和time1各自对应的隐向量。在预测的时候只需要取出time1和tag1的隐向量做内积就可以表示出两个特征的交叉作用。这是FM最主要的优势，尤其适用于ctr预估这种高维稀疏的应该场景。
其次，需要优化的参数大大减少了。

4、FM模型计算公式优化

FM模型由常数项、一阶特征、二阶特征构成，公式的计算复杂度O(kn^2 )，其中K是隐向量的维度，n是特征的维度，我们需要对FM计算公式做优化。二阶特征部分经过如下推导计算复杂度可以降低到O(kn)。

上面的推导结果可以把FM的计算复杂度降低到 O(kn),这为FM在线应用提供基础。

5、FM的更新公式

通过上面对计算复杂度的简化，FM模型对各个参数的导数很容易计算，主要是分别求出模型对常数项${w_0}$w0​、一阶项${w_i}$wi​、二阶项${v_i}_{f}$vi​f​的导数。