线性回归根据输入值预测实值输出。我们讨论线性回归在房价预测中的应用，提出了成本函数的概念，并介绍了梯度下降法的学习方法。

模型和代价函数

线性回归

• 之前的住房价格数据示例
• 监督学习-回归问题
  
  • 我们从头开始
• 训练集（这是你的数据集）
• 符号（整个过程中使用）
  
  • m = 训练例数
  • x’s =输入变量/特征
  • y’s =输出变量“target”变量
  • （x，y） - 单一训练示例
  • （x i，y j） - 具体示例（第 i 训练示例）
    
    • i是训练集的索引

• 我们的训练集确定了 - 我们如何使用它？
  
  • 接受训练集
  • 用学习算法处理
    
    • 算法输出一个函数（表示为h ）（h = 假设）
      
      • 这个功能需要一个输入（例如新房子的大小）
      • 尝试输出Y的估计值
• 我们如何表示假设h ？
  
  • 如下所示
    
    • ħθ(X) = θ0+θ1X
      
      • h(x)（简写）

• 这是什么意思？
  
  • 均值Y是x的线性函数！
  • θi是参数
    
    • θ0是x=0时h(x)的状态
    • θ1是斜率
• 这种函数是一个变量的线性回归
  
  • 也称 单变量线性回归
• 所以总结一下
  
  • 一个假设需要一些变量
  • 使用由学习系统确定的参数
  • 根据该输入输出预测

线性回归 - 实现（代价函数）

• 一个成本函数可以让我们找出如何使我们的数据符合最好的直线
• 可供选择的值θi（参数）
  
  • 不同的值给你不同的功能
  • 如果 θ0是1.5和 θ1是0，那么我们得到平行X轴的直线，y坐标恒为1.5
  • 如果 θ1> 0，我们得到了一个正斜率
• 根据我们的训练集，我们要生成直线的参数
• 选择这些参数，以便 hθ(x)的值接近我们的训练样例的Y值
  
  • 基本上，使用训练集中的多个X值输入h(x)，使输出尽可能的接近于实际的Y值(X值实际对应的数据）
    -想象hθ(X)是“Y模仿者” -它试图将X转化为Y，并考虑到我们已经有了实际的Y,我们可以评估hθ(X)效果如何
• -形式化过程
  
  • 我们想要解决 最小化问题
  • Minimize (hθ(x) - y)2
  • 即最小化每个/任何/每个示例的 h(x)和y之间的差异
  • 在训练集上求和每个差异
    
• 最小化预测房价与实际房价之间的平方差
  
  • 1 / 2M
    
    • 1/m- 表示我们确定平均值
    • 1/2m使数学有点简单，并且不改变我们确定的常数（即最小值的一半仍然是最小值！）
  • 最小化θ0/θ1意味着θ0、θ1的值可以使得x的线性回归值与y的平均偏差最小。
• 更简单地说，这是一个代价函数

• 而且我们希望最小化这个代价函数的值
  
  • 我们的成本函数（因为求和术语）总是在任何时候处理训练集中的所有数据
• 所以要回顾一下
  
  • Hypothesis假设 - 就像你的预测机器，输入一个x值，得到一个推定的y值
    
  • Cost代价 - 是使用您的训练数据确定θ值的值的方法，这使得Hypothesis假设尽可能准确
    
    
    • 该代价函数也称为平方误差成本函数
      
      • 这个代价函数是大多数回归函数的合理选择
      • 可能是最常用的函数
• J(θ0,θ1) 有些抽象，在未来的章节将深入它做了什么，它的工作原理以及我们如何使用它

代价函数-深入了解

• 让我们考虑一些关于成本函数的直觉，以及为什么要使用它
  
  • 成本函数确定参数
  • 与参数相关的值决定了您的假设行为，不同的值会产生不同的结果
• 简化假设
  
  • 假定θ0=0
    
• 代价函数和目标在这里非常近似，但需要一个更简单的参数
  
  • 简化假设使可视化成本函数J（）更容易一些
• 所以假设直线通过了（0,0）
  
  • 两个需要了解的关键函数
    
    • hθ(x)
      
      • Hypothesis假设是x的函数，一个关于房子面积的函数
    • J(θ1)
      
      • 一个关于参数θ1的函数
    • 例如
      
      • θ1 = 1
      • J(θ1) = 0
    • 考虑
      
      • θ1 vs J(θ1)
      • Data
        
        • 1)
          
          • θ1 = 1
          • J(θ1) = 0
        • 2)
          
          • θ1 = 0.5
          • J(θ1) = ~0.58
        • 3)
          
          • θ1 = 0
          • J(θ1) = ~2.3
    • 如果我们计算一个值的范围
    • J(θ1) vs θ1 我们得到一个多项式(看起来像一个二次方程)
      
• 对于学习算法的优化目标是找到的值θ1，其最小化J(θ1)
  
  • 所以，这里θ1 = 1是对于θ1的最佳值

更深入了解成本函数 - 简化成本函数

• 假设你熟悉轮廓图或轮廓图
  
  • 使用相同的成本函数，假设和目标如前所述
  • 如果您不了解 cotour plots，可以跳过本节的部分内容
• 使用我们原来的复杂的假设函数与两个变量参数，
  
  • 所以成本函数是
    
    • J(θ0, θ1)

• 例如,

  • 假定：
    
    • θ0 = 50
    • θ1 = 0.06
  • 以前，我们通过绘图绘制了成本函数
    
    • θ1 vs J(θ1)
  • 现在我们有2个参数
    
    • 绘制变得更加复杂
    • 生成一个所在轴的3D曲面
      
      • X = θ1
      • Z = θ0
      • Y = J(θ0,θ1)
        

• 我们可以看到，height (y)表示成本函数的值，因此找到y在最小值的位置

• 我们可以使用轮廓数字/曲线来代替曲面图

  • 以不同颜色设置椭圆
  • 每种颜色为J(θ0, θ1)，但显然打印到不同的位置，因为θ0和θ1将变化
  • 想象一下碗状函数从屏幕出来，所以中间是同心圆
    

• 每个点（像上面的红色）代表Ɵ0和 Ɵ1的一对参数值

  • 我们的例子在这里选定参数：
    
    • θ0 = ~800
    • θ1 = ~-0.15
  • 不适合
    
    • 这些参数给出了远离轮廓图上的中心的值
  • 如采用：
    
    • θ0 = ~360
    • θ1 = 0
    • 这给了一个更好的假设，但仍然不是很好 - 不是在轮廓图的中心
  • 最后我们找到最小值，给出最佳假设
• 通过眼睛/手做这个是令人憎恨的
  
  • 我们真正需要的是一个高效的算法往复查找了不同的θ0和θ1对应的最小值