线性方程组章节总结

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线性方程组有解的充要条件

1. 齐次线性方程组要么只有一组零解，要么有无穷多解

2. 非齐次线性方程组有解的充要条件

   $R(A)=R(A|\beta)$R(A)=R(A∣β)

   注：$R(A)$R(A)和$R(A|\beta)$R(A∣β)要么相等，要么差$1$1

线性方程组解的结构

1. 齐次线性方程组

   (1) $AX=0$AX=0只有零解 $\Leftrightarrow$⇔ $R(A)$R(A)等于未知数个数$\Leftrightarrow$⇔A为列满秩阵

   (2) $AX=0$AX=0有无穷多组解 $\Leftrightarrow$⇔ $R(A)$R(A)小于未知数个数

2. 非齐次线性方程组

   (1) $AX=B$AX=B 有唯一解 $\Leftrightarrow R(A)=R(A|\beta)=n$⇔R(A)=R(A∣β)=n

   (2) $AX=B$AX=B 有无穷多组解 $\Leftrightarrow R(A)=R(A|\beta)<n$⇔R(A)=R(A∣β)<n

   (3) $AX=B$AX=B 无解 $\Leftrightarrow R(A) \ne R(A|\beta)$⇔R(A)​=R(A∣β)

注：$AX=B$AX=B 有唯一解 $\Leftrightarrow$⇔ $AX=0$AX=0只有零解

线性方程组的解

思想：利用矩阵初等行变换（高斯消元）

1. 齐次线性方程组

   记$N(A)$N(A)为齐次线性方程组的全体解向量所构成的向量空间，则$\dim N(A)=n-R(A)$dimN(A)=n−R(A)，称$n(A)$n(A)的基为齐次线性方程组的基础解系：

   (1) 当$R(A)=n$R(A)=n时，齐次线性方程组只有零解，没有基础解系

   (2) 当$R(A)<n$R(A)<n时，基础解系为齐次线性方程组的$n-R(A)$n−R(A)个线性无关的解向量

2. 非齐次线性方程组

   $AX=B$AX=B 和 $AX=0$AX=0的解向量满足：

   (1) 若$\eta_1$η1​，$\eta_2$η2​都是$AX=B$AX=B的解，那么$\eta_1 - \eta_2$η1​−η2​是$AX=0$AX=0的解~~（几乎没用）~~

   (2) 若$\eta_1$η1​是$AX=B$AX=B的解，$\eta_2$η2​是$AX=0$AX=0的解，那么$\eta_1 + \eta_2$η1​+η2​还是$AX=B$AX=B的解

~我们遇到什么困难也不要怕，微笑着面对它！消除恐惧的最好办法就是面对恐惧！坚持就是胜利！加油！奥利给！~