曲线曲率

曲线的曲率(curvature)就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率示，曲线曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。

显示曲线曲率推导过程

设定曲线方程f=y(x)，用s、$\alpha$α 分别表示弧长和角度，微分定义曲线曲率 ${\rm{k}} = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} \left| {\frac{{\Delta \alpha }}{{\Delta s}}} \right|$k=α→0lim​∣∣∣∣​ΔsΔα​∣∣∣∣​ 因为tan$\alpha$α=y’，所以$\alpha$α=arctany’, 则
$d\alpha = {\left( {\arctan y'} \right)^\prime }dx = \frac{{y''}}{{1 + {{y'}^2}}}dx$dα=(arctany′)′dx=1+y′2y′′​dx $ds=\sqrt{1+{{y'}^2}}$ds=1+y′2​ 所以可得曲率
$k = \frac{y''}{({1+{y'}^2}) ^{\frac{3}{2}}}$k=(1+y′2)23​y′′​

隐式曲线曲率推导过程

结合显示曲线曲率的推导公式，对于隐式曲线u(x,y(x))=0，只需要确定y’和y’’，然后讲y’和y’'带入上述曲率公式即可获得曲率公式。
对隐函数两边同时对x求导可得：
$u_x+u_y\frac{dy}{dx}=0$ux​+uy​dxdy​=0$\frac{dy}{dx}=-\frac{u_x}{u_y}$dxdy​=−uy​ux​​,对上式两边进一步同时对x求导可得

$\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=-(\frac{ (\frac{d}{dx}u_x) u_y- (\frac{d}{dy}u_y) u_x}{u_y^2})= -(\frac{ (u_{xx} +u_{xy}\frac{dy}{dx}u_x) u_y- (u_{xy}+u_{yy}\frac{dy}{dx}u_y) u_x}{u_y^2})$dxd​(dxdy​)=−(uy2​(dxd​ux​)uy​−(dyd​uy​)ux​​)=−(uy2​(uxx​+uxy​dxdy​ux​)uy​−(uxy​+uyy​dxdy​uy​)ux​​)

将$\frac{dy}{dx}$dxdy​以及$\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})$dxd​(dxdy​)进一步带入显示曲线曲率公式即可求得：$k=\frac {u_y^2u_{xx}+u_x^2u_{yy}-2u_xu_yu_xy} {(u_x^2+u_y^2)^\frac{3}{2}}$k=(ux2​+uy2​)23​uy2​uxx​+ux2​uyy​−2ux​uy​ux​y​