神经网络中全连接层

1、全连接层的每一个结点都与上一层的所有结点相连，用来把前边提取到的特征综合起来。由于其全相连的特性，一般全连接层的参数也是最多的。对于卷积神经网络CNN来说，全连接层之前的作用是提取特征，全连接层的作用是分类。


从上图，可以看出：

红色的神经元表示这个特征被找到了（**了），同一层的其他神经元，要么猫的特征不明显，要么没找到。
当我们把这些找到的特征组合在一起，发现最符合要求的是猫，则认为这是猫了！
2、 全连接层为什么大部分是两层 ？
线性部分：主要做线性转换，输入用X表示，输出用Z表示
非线性部分：那当然是做非线性变换了，输入用线性部分的输出Z表示，输出用X表示。

只用一层fully connected layer 有时候没法解决非线性问题，而如果有两层或以上fully connected layer就可以很好地解决非线性问题了。一般全连接两层包含线性层和非线性层，那么为什么需要非线性层呢？
线性部分
线性部分的运算方法基本上就是线性加权求和的感觉，如果对于一个输入向量$x=[x_0,x_1,...x_n]^T$x=[x0​,x1​,...xn​]T，线性部分的输出向量是$z=[z_0,z_1,...z_m]^T$z=[z0​,z1​,...zm​]T，那么线性部分的参数就可以想象一个m*n的矩阵W，再加上一个偏置项$b=[b_0,x_1,...b_m]^T$b=[b0​,x1​,...bm​]T，于是有：
$\pmb{W*x + b = z}$W∗x+b=z​W∗x+b=z​​W∗x+b=z
线性部分做了什么事情呢？简单来说就是对输入数据做不同角度的分析，得出该角度下对整体输入数据的判断。

这么说有点抽象，举一个实际点的例子，就拿CNN的入门case——MNIST举例。MNIST的例子在此不多说了，它是一个手写数字的识别项目，输入是一张28 * 28的二值图，输出是0-9这是个数字，这里假设我们采用完全全连接的模型，那么我们的输入就是28 * 28=784个像素点。数据显示到屏幕上大概是这个样子：

对于我们来说，这个像素点都太过于抽象了，我们无法判断这些像素点的取值和最终识别的关系:

他们是正相关还是负相关？

很显然，像素点之间是存在相关关系的，这个关系具体是什么我们后面再说，但存在关系这件事是板上钉钉的。所以只给每一个像素点一个权重是解决不了问题的，我们需要多组权重。

我们可以

1）在第一组权重中给第一个像素一个正数，第二个也是正数，

2）在第二组权重中给第一个像素负数，而第二个还是正数……

这样，我们相当于从多个角度对输入数据进行分析汇总，得到了多个输出结果，也就是对数据的多种评价。

非线性部分
非线性部分有一些“套路”函数，这里只说下其中的一个经典函数——sigmoid。它的函数形式如下所示：
$f(x)=\frac{1}{(1+e^{-x})}$f(x)=(1+e−x)1​
图像如下所示：

这个函数的输入正是我们上一步线性部分的输出z，此时z取值范围在$(-\infty,\infty)$(−∞,∞)，经过了这个函数就变成了$(0,1)$(0,1)。

那非线性部分为什么要做这个函数转换呢？以我的粗浅理解，其中的一个作用就是作数据的归一化。不管前面的线性部分做了怎样的工作，到了非线性这里，所有的数值将被限制在一个范围内，这样后面的网络层如果要基于前面层的数据继续计算，这个数值就相对可控了。不然如果每一层的数值大小都不一样，有的范围在$(0，1)$(0，1)，有的在$(0,10000)$(0,10000)，做优化的时候优化步长的设定就会有麻烦。

另外一个作用，就是打破之前的线性映射关系。如果全连接层没有非线性部分，只有线性部分，我们在模型中叠加多层神经网络是没有意义的，我们假设有一个2层全连接神经网络，其中没有非线性层，那么:
对于第一层有：$\boldsymbol{W^0*x^0+b^0 = z^1}$W0∗x0+b0=z1
对于第二层有：$\boldsymbol{W^1*x^1+b^1 = z^2}$W1∗x1+b1=z2
两式合并，有
$\boldsymbol{W^1*(W^0*x^0+b^0)+ b^1 = z^2}$W1∗(W0∗x0+b0)+b1=z2
$\boldsymbol{W^1*W^0*x^0+(W^1*b^0+b^1) = z^2}$W1∗W0∗x0+(W1∗b0+b1)=z2
所以我们只要令$\boldsymbol{W^{0^{'}}=W^1*W^0 , b^{0^{'}}=W^1*b^0+b^1}$W0′=W1∗W0,b0′=W1∗b0+b1，就可以用一层神经网络表示之前的两层神经网络了。所以非线性层的加入，使得多层神经网络的存在有了意义。
另外还有一个比较有名的非线性函数，叫做双曲正切函数。它的函数形式如下所示：


这个长得很复杂的函数的范围是$(-1,1)$(−1,1)。可以看出，它的函数范围和前面的sigmoid不同，它是有正有负的，而sigmoid是全为正的。
参考链接：
1、全连接层有何作用？
2、神经网络-全连接层（1）