泛函和变分：从最速降线谈起

处理最速降线等类似的问题，大家都喜欢直接对推导出来的极小化问题，直接代入欧拉-拉格朗日方程求解，我觉得这不易于对“变分”的理解，对于大家理论分析功底的增近，并无裨益。通过思考，我觉得直接从 Frechet 导数出发，进行变分推导得到更具化的欧拉-拉格朗日方程，是更为广泛的一种变分方法。本质上是一样的，只不过这个过程更容易推广。

简介

所谓的泛函，就是“函数的函数”，自变量本身就是函数的一个函数。找一个函数，使得某一个泛函最小，就是一个“能量”极小化的问题。可以用到变分方法。

• 变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。
• 变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。
• 在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。
• 最优控制的理论是变分法的一个推广。

变分法是 17 世纪末发展起来的一门数学分支，是处理函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。它最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。

变分

微分是当自变量$x$x变化了一点点$\text{d}x$dx而导致了函数$f(x)$f(x)变化了多少。
变分是无限维空间上的微分，我们一般称之为Frechet 微分，其实就是微分在无限维空间的推广。Frechet 微分作用于泛函就叫变分。我们用 $\delta$δ 符号来替代微分中的 d。

Frechet 导数

Frechet 导数实变量函数在 Banach 空间中的推广，这个东西在做偏微分方程的时候，比如求能量极小，求欧拉-拉格朗日方程等方面，非常重要，任何做方程的，都应该熟练掌握。

Frechet 导数，就是一般导数的一个推广，可以简单地写为，对于需要极小化的函数 $J(\phi)$J(ϕ)，$\forall \psi$∀ψ：
$<\frac{\delta J}{\delta \phi},\psi> = \lim_{\epsilon->0}\frac{J(\phi+\epsilon\psi)-J(\phi)}{\epsilon}$<δϕδJ​,ψ>=ϵ−>0lim​ϵJ(ϕ+ϵψ)−J(ϕ)​

Frechet 导数和一般的函数导数非常像，主要是这个对辅助函数 $\psi$ψ 的任意很关键，是把积分号去掉，提取出恒等式的原因。

最速降线问题

最速降线问题，又称最短时间问题、最速落径问题，是探讨在重力作用而忽略摩擦力的情况下，一个质点在一点A以速率为零开始，沿某条曲线，去到一点不高于A的B，该以何种曲线行进才能令所需的时间最短。由经验可知，这条线越陡，速度就会越快，但是相应的路径就会变长，路径和速度之间必然存在一个平衡。

如图所示建立坐标系，水平方向的运动距离为$x$x，竖直方向的运动距离为$y$y，速度的大小用$v$v来表示。

由高中的重力势能和动能的转化关系，$mgy=1/2mv^2$mgy=1/2mv2。可以得到，
$v = \sqrt{2gy}$v=2gy​

在微分几何中，一条参数化曲线$\{x(t),y(t)\}${x(t),y(t)}，它的弧长是可以表示为：
$\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\text{d}t$∫t0​t1​​x′(t)2+y′(t)2​dt
这个公式不需要记，怎么理解呢，它表示曲线沿$x$x方向的变化率，和沿$y$y方向的变化率，利用“勾股定理进行组合，得到的就是沿切线方向的变化率，沿切线方向的变化率，再做个积分，肯定就是长度了。

那么，对于曲线 $y(x)$y(x)，把 $x$x 看成 $t$t，仍用 $x$x 表示，那么它的弧长就是
$\int_{a}^{b}\sqrt{1+y'(x)^2}\text{d}x$∫ab​1+y′(x)2​dx
接下来，有的地方就会利用“微元”的思想，把弧长和速度相除作为时间进行积分，对于不理解“微元法”的人来说，就会显得很牵强。那么应该怎么解释呢？

把弧长的表达式换成弧长参数，有
$\int_{a}^{b}\sqrt{1+y'(x)^2}\text{d}x= \int_{s_0}^{s_1}1\text{d}s$∫ab​1+y′(x)2​dx=∫s0​s1​​1ds
也就是说，
$\text{d}s = \sqrt{1+y'(x)^2}\text{d}x$ds=1+y′(x)2​dx
这个是很容易理解的。那么，

$v=\frac{\text d s}{\text d t} = \sqrt{1+y'(x)^2}\frac{\text{d}x}{\text d t}$v=dtds​=1+y′(x)2​dtdx​

则有，
$\text dt = \frac{\sqrt{1+y'(x)^2}}{v} \text dx$dt=v1+y′(x)2​​dx

两边同时积分，可以得到从 a 到 b 的总时间，

$J = \int_{a}^{b} \frac{\sqrt{1+y'(x)^2}}{\sqrt{2gy}} \text dx:= \int_{a}^{b} F \text dx$J=∫ab​2gy​1+y′(x)2​​dx:=∫ab​Fdx

变分求解最速降线

下面要做的就是选定 $y$y ，使得 $J$J 达到最小，这是经典的变分问题，我们使用变分方法。

$<\frac{\delta J}{\delta y},z> = \lim_{\epsilon->0}\frac{J(y+\epsilon z)-J(y)}{\epsilon}\\ =\lim_{\epsilon->0}\int_{a}^b \frac{\frac{\partial F}{\partial y}\epsilon z+\frac{\partial F}{\partial y'}\epsilon z'+o(\epsilon)}{\epsilon}\\ = \int_{a}^b \frac{\partial F}{\partial y}z+\frac{\partial F}{\partial y'}z'\\ ={\frac{\partial F}{\partial y'}z}|_a^{b}+\int_{a}^b (\frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\text d}{\text dx}\frac{\partial F}{\partial y'})z\\ = \int_{a}^b (\frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\text d}{\text dx}\frac{\partial F}{\partial y'})z = 0$<δyδJ​,z>=ϵ−>0lim​ϵJ(y+ϵz)−J(y)​=ϵ−>0lim​∫ab​ϵ∂y∂F​ϵz+∂y′∂F​ϵz′+o(ϵ)​=∫ab​∂y∂F​z+∂y′∂F​z′=∂y′∂F​z∣ab​+∫ab​(∂y∂F​+dxd​∂y′∂F​)z=∫ab​(∂y∂F​+dxd​∂y′∂F​)z=0

第二个等号用了泰勒展开，因为积分不好相消，这种情况下，我们一般更倾向于用泰勒展开。这里的$y$y和$y'$y′都应该看成一个变量，类比一般的多元函数泰勒展开。

第四个等号用了分部积分，对第二项进行了处理，一般含辅助函数 $z$z 的都可以进行分部积分处理掉。

第五个等式是因为，$y+\epsilon z$y+ϵz 作为 y 的一个扰动，必须满足边界条件，即$(y+\epsilon z)(a) = y (a)\\ (y+\epsilon z)(b) = y (b)$(y+ϵz)(a)=y(a)(y+ϵz)(b)=y(b)
这意味着$z(a) = z(b) = 0$z(a)=z(b)=0。最后，由于 $z$z 的任意性（端点固定不影响），我们有，
$\frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\text d}{\text dx}\frac{\partial F}{\partial y'} = 0$∂y∂F​+dxd​∂y′∂F​=0

这便是我们得到的欧拉-拉格朗日方程。由于 $F$F 中不显含自变量，则，
$\frac{d}{d x}\left[F-y^{\prime} \frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}\right]=y^{\prime} \frac{\partial F}{\partial y}+y^{\prime \prime} \frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}-y^{\prime \prime} \frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}-y^{\prime} \frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}\right)=0$dxd​[F−y′∂y′∂F​]=y′∂y∂F​+y′′∂y′∂F​−y′′∂y′∂F​−y′dxd​(∂y′∂F​)=0
故而
$F-y^{\prime} \frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}=C$F−y′∂y′∂F​=C
将$F$F的表达式代入，并且化简，可以得到一个不显含 $x$x 的一个 ODE，
$y\left[1+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right]=C$y[1+(y′)2]=C
这里的 C 是可以由边界条件得到。翻一翻常微分的课本，我们可以求解这个 ODE，得到：
$\left\{\begin{array}{l} x=a+r(\theta-\sin \theta) \\ y=r(1-\cos \theta) \end{array}\right.${x=a+r(θ−sinθ)y=r(1−cosθ)​

这里的 $r>0$r>0，表示摆线圆半径。这里的 $r$r 等于多少呢？假设 a、b两点的坐标分别为——$a: (a,0)，b:(b,y_b)$a:(a,0)，b:(b,yb​)。那么，可以求得：$\theta_0 = 0$θ0​=0，$\theta_1$θ1​ 和 $r$r 可以根据求解方程组
$\left\{\begin{array}{l} b=a+r(\theta_1-\sin \theta_1) \\ y_b=r(1-\cos \theta_1) \end{array}\right.${b=a+r(θ1​−sinθ1​)yb​=r(1−cosθ1​)​
得到。涉及到非线性方程的求根，解析的表达式并不好写。

最速降线的物理意义

最速降线到底是什么呢？它是个是摆线，即圆周上固定一点在圆滚动时的轨迹。当然，这里的摆线是上下颠倒的。如图所示。