微分与可微

一、微分的定义

什么是微分？先来看一个例子

设有一个半径为r的金属圆片受热后其半径增加了Δr，求面积A的增量ΔA

微分与可微

A (r) Δ A = π r 2 = π (r + Δ r) 2 - π r 2 = π [2 r Δ r + (Δ r) 2] = 2 r π Δ r + π (Δ r) 2

因为Δr很小，所以(Δr)2<<Δr，即ΔA的主要部分是红色部分，且其还未Δr的一次线性函数（称其为线性主部）。所以有：

Δ A \approx 2 r π \cdot Δ r ， 其 中 2 r π = A' (r)

立即推：

如果一个函数的增量能够写成如上两部分（自变量增量的一次函数 +自变量增量的高级无穷小），此时我们称函数在该点可微，并且把第一部分称为函数关于该点的微分。

微分的数学定义：

设函数f(x)在一点x处，Δy=f(x+Δx)−f(x)，如果Δy可以写成如下两部分：

Δ y = A Δ x + o (Δ x)

其中A是只与x有关，而与Δx无关的常数，则称函数f(x)在点x处可微(differentiable),并将线性主部AΔx称为函数在点x处对应于Δx的微分(differential)，记作dy:

d y = A Δ x

由上面可知：

Δ y = d y + o (Δ x) Δ y - d y = o (Δ x) lim Δ x \to 0 Δ y - d y Δ x = lim Δ x \to 0 o (Δ x) Δ x = 0

所以当Δx→0时，Δy≈dy，误差为o(Δx)

可微与可到的关系：

可 微 ⟺ 可 导 ， 且 d y = f' (x) Δ x

二、微分的几何意义

微分与可微