密度梯度理论

密度梯度限制理论–半导体器件仿真

一、静电和电荷载流子守恒
半导体器件的物理场仿真包括由电场（漂移）和载流子浓度梯度（扩散）驱动的载流子迁移。电场（V/m）由准静态假设下的静电方程式给出：
密度梯度理论
式中，是介电常数（F/m），是电荷密度（C/m3），是电势（V）。电荷密度由空穴、电子、电离的施主和电离的受主浓度（1/m3）（分别为 , , 和）给出。

式中，是基本电荷（C）。电子和空穴浓度（和）受以下连续性方程给出的守恒定律约束：
密度梯度理论

式中，是时间（秒）；和是电子和空穴的电流密度（A/m2）；是电子和空穴的复合和产生速率（1/m3/s）。电子和空穴的电流密度和可以用准费米能级（quasi-Fermi levels）和（V）表示：

式中，和是电子和空穴迁移率（m2/V/s），和是导带和价带边缘（V），和是电子和空穴对热扩散系数（m2/s）的非平衡贡献，是温度（K）。导带边缘和价带边缘与电势，电子亲和势和带隙有关：
请注意，在使用半导体模块时，所有能级变量（）均由基本电荷换算成电势（V）。
二、漂移扩散和密度梯度理论的状态方程
传统的漂移扩散理论和密度梯度理论都遵守上面列出的静电和电流守恒定律。它们之间的差异在于电子和空穴气体的状态方程。在漂移扩散理论中，载流子浓度和与准费米能级和有关，由下列等式表示：

式中，和分别是导带和价带有效态密度（1/m3），是费米-狄拉克积分，是玻耳兹曼常数J/K）。而在密度梯度理论中，通过量子势和（V）增加了浓度梯度对状态方程的贡献：

式中，量子势和是根据密度梯度定义的：

密度梯度系数和（V m2）由密度梯度有效质量张量和（kg）的倒数给出：

式中，是普朗克常数。
三、求解策略
对于传统的漂移扩散公式，可以将状态方程密度梯度理论
代入基本方程求解三个因变量：
对于密度梯度公式，状态方程

表明了电荷载流子浓度的隐式关系。此时，要引入新的因变量来求解隐式方程。
我们使用 Slotboom 变量和（V）作为附加因变量：

然后使用密度梯度公式的基本方程和状态方程求解五个因变量
,
显然，与其他更复杂的量子力学方法相比，该方法不会增加过多的计算量。因此，密度梯度理论为工程师提供了一种有效的替代方法。