连续函数的平移自交相关

问题引入

前几天，有人问我一个有趣的数分问题：

设k为大于1的正整数，f:[0,k]→R是连续函数，满足f(0)=f(k)。证明：至少有k对不相同的(x1,x2)，满足f(x1)=f(x2)而且x2−x1是整数。

这是一个很有意思的问题，初看这个问题，脑子里大概有两个想法：

• 会不会对于每个i≤k,i∈N，都有(xa,xb)⊂[0,k]，使得，xb−xa=i？
• 对任意的a∈R，函数方程f(x+a)=f(a)都有解？
  

我们可以构造函数否定这两个想法（实际上只要否定第一个想法即可），构造如下函数，如图(a):

这两个函数不相交，这说明前面的想法是错误的（这里向右平移了3个单位），前天我在博客上放了一个伪证（已删除）是基于第一个想法的，虽然是错的，但是给正确的解答也提供了思路，同时伪证的办法可以解决一个弱一点的问题Universal chord theorem，即：

（Universal chord theorem）对于一个连续函数f，如果有f(a)=f(b)，那么对于任意自然数n，必定存在ξ∈[a,b]，使得f(ξ+1n)=f(ξ)成立。

我们来看看图(b)，实际上，题目所要求的k对不相同的(x1,x2)是最优的估计，我们可以随意构造像图(b)这样的连续上凸函数，他们都满足有且仅有k对不相同的(x1,x2)满足条件。如此看来问题陷入了一个僵局，k对时最优的，且并不是每一个整数间隔都是存在数对的（否则可以取遍所有的i≤k,i∈N即证），那么该如何去做呢？

正解

传闻这道题是2014年某高校的博士入学考，后来有同学告诉我这是裴礼文的原题（第二版145页），做法是数学归纳法加上介值定理，数学归纳法我也想过，不过想必是需要神构造的，果真如此：

证明：n=1时候显然成立，假设n=k时候成立，下面来考察一下n=k+1的情况，构造函数F(x)=f(x+1)−f(x)，由f(0)=f(k+1)有：（这一步我之前的伪证也给出了）

于是必定存在两个整数结点上的函数值符号是互异的（否则全为正或者负，与其和为0矛盾！），由连续函数的介值定理即可证明存在ξ∈[0,k+1]使得f(ξ+1)=f(ξ)，这实际上说明了间隔为1的解必定存在。当然这也可以直接用上面提到的Universal chord theorem说明（取n=1即可）。

上面的(ξ,ξ+1)是满足要求的一组数对，下面 构造神函数：

注意到φ(x)是连续函数，且φ(0)=φ(k)，由归纳假设φ(x)有k对满足条件的数对，且这些数对也恰好是满足f的k组数对！！这k组数对和(ξ,ξ+1)显然不同，加在一起一共k+1对，于是由数学归纳法便完成了证明。

更进一步的思考

对于上面的第二个想法，稍作修改，提出如下猜想：

若f∈C(R)，且limx→−∞f和limx→+∞f，那么limx→∞f存在（即正负极限相等）的充要条件是：函数方程f(x+a)=f(x)有解，其中a∈R.

必要性很快就找到反例了，构造如下函数：

它满足f(φ+a)=f(φ)有解，但是极限不存在，那么充分性是否正确呢？下面给出证明（应该没问题）：

Conjecture: 若f∈C(R)，且limx→∞f存在，则函数方程f(x+a)=f(x)有解，其中a∈R.

证明：先证明limx→∞f有限的情况，不妨设limx→∞f=k

• 若f≡k，那么显然
• 若∃x0∈R s.t. f(x0)>k，则∃ξ1∈R s.t. f(x)≤f(ξ1),x∈R。

即f在R上存在最大值，这是因为由极限的定义我们有：∀ε>0，∃N1>0，当x>N1时候有，f(x)<ε+k，∃N2<0，当x<N2时候有，f(x)<ε+k，

注意到我们总能取足够小的ε，使得一方面f(x0)>k+ε（注意到f(x0)>k），另一方面使得x0∈[N2,N1]，由闭区间上连续函数的性质我么可以知道f在[N2,N1]上有最大值f(ξ1)，又因为x0∈[N2,N1]，所以

又因为f(x0)>k+ε，于是马上有：

综上，即证若∃x0∈R s.t. f(x0)>k，则f在R上存在最大值。构造函数:

注意到，我们有：

由F(x)的连续性和介值定理我们知道在[ξ1−a,ξ1]上存在解xgd使得F(xgd)=0，即所求函数方程有解。

• 若不∃x0∈R s.t. f(x0)>k，则∀x∈R有f(x)≤k。

类似地我们可以证明∃ξ2∈R s.t. f(x)≥f(ξ2),x∈R，即f在R上有最小值，构造一样的函数我们可以证明F(x)在[ξ2−a,ξ2]上有零点。

于是乎，limx→∞f有限的情况证明完毕，实际上上面的证明说明了，在假设所给条件下，f最大最小值必定至少存在一个。下面来说明极限为∞的时候同样成立，下面只证明limx→∞f=−∞的情况，+∞的情况类似。

由极限的定义有，∀M<0，∃N1>0，当x>N1时有，f(x)<M，∃N2<0，当x<N2时候有，f(x)<M,类似地对[N2,N1]用介值定理可以说明在[N2,N1]上有最大值，取M足够小，即可得出f在R上有最大值，函数方程解的存在性和上述类似构造即可。