矩阵的乘法口诀（一）

还记得小学时背过的“九九乘法表”吗？那是刚刚学习乘法的小学生的一道难关。我们小时候用过的铁制文具盒盖子里面就印着“乘法表”，像一个上三角形矩阵。

有一个笑话：上小学二年级的明明回家告诉妈妈：“今天数学考试有一道题问$3\times 7=?$3×7=?，我不会做。快下课时我不管三七二十一，写了个28上去！”这个笑话说明光会背公式是没有用的！

言归正传。大一的同学学习矩阵的乘法是也会觉得挺抽象的。所以，今天我们就来聊聊“矩阵乘法”这点事儿！

符号

$A$A为$n$n阶方阵.
$e_i=(0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)^T$ei​=(0,⋯,0,1,0,⋯,0)T, 其中第$i$i个分量等于$1$1.
$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$x=(x1​,x2​,⋯,xn​)T.
小写希腊字母如$\alpha$α常常表示$n$n维列向量，而$\alpha^T$αT则表示$n$n维行向量.
$row_i$rowi​指矩阵$A$A的第$i$i行，$col_i$coli​指矩阵$A$A的第$i$i列.
我们仅考虑实数域。

###乘法口诀

矩阵$AB$AB来相乘，左右首先要分清；

$乘法没有消去律，左右因子不能去;$乘法没有消去律，左右因子不能去;

$矩阵乘法真有趣，且听我来说详细:$矩阵乘法真有趣，且听我来说详细:

$行乘以列得实数，效果等于做内积;$行乘以列得实数，效果等于做内积;

$非零列乘非零行，积乃方^T阵秩为1；$非零列乘非零行，积乃方T阵秩为1；

$A$A左乘以列向量，等于$A$A列作组合；

$A$A乘$e_i$ei​很容易，直将$i$i列来提取；

行向量左乘以$A$A， 等于$A$A行作组合；

$e_i$ei​转置把$A$A乘，$i$i行取出便为积；

初等矩阵左右乘，行列变换显神奇。

注释及应用

1. 行乘以列得实数，效果等于做内积;
   非零列乘非零行，积乃方阵秩为1.
   解释：

   • $\alpha^T\beta$αTβ是一个实数. 且$\alpha^T\beta =\beta^T\alpha$αTβ=βTα.

   • $\alpha\beta^T$αβT是一个方阵。当$\alpha\ne 0, \beta\ne0$α̸​=0,β̸​=0时，$\alpha\beta^T$αβT是一个秩等于1的方阵.

   • $tr(\alpha\beta^T)=\alpha^T\beta$tr(αβT)=αTβ.这里$tr(\alpha\beta^T)$tr(αβT)表示方阵$\alpha\beta^T$αβT的迹，就是它的主对角元的和.

例1 设
$\alpha=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}, \beta^T=(2\quad 1\quad 2),A=\alpha\beta^T,$α=⎝⎛​123​⎠⎞​,βT=(212),A=αβT, 计算：$A^n.$An.

解：$A^n=\alpha\beta^T\alpha\beta^T\cdots\alpha\beta^T\alpha\beta^T=\alpha(\beta^T\alpha) \cdots(\beta^T\alpha)\beta^T =\alpha(\beta^T\alpha)^{n-1}\beta^T=(\beta^T\alpha)^{n-1}\alpha\beta^T=(\beta^T\alpha)^{n-1}A$An=αβTαβT⋯αβTαβT=α(βTα)⋯(βTα)βT=α(βTα)n−1βT=(βTα)n−1αβT=(βTα)n−1A
因为
$\beta^T\alpha=1\times2+2\times1+3\times2=10,$βTα=1×2+2×1+3×2=10,所以，
$A^n=10^{n-1}A,$An=10n−1A,
其中，
$A=\begin{pmatrix}2&1&2\\4&2&4\\6&3&6\end{pmatrix}.$A=⎝⎛​246​123​246​⎠⎞​.

2. $A$A左乘以列向量，等于$A$A列作组合；
   $A$A乘$e_i$ei​很容易，直将$i$i列来提取；
   解释：

$(1)\quad A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=x_1col_1+x_2col_2+\cdots+x_ncol_n.$(1)A⎝⎜⎜⎜⎛​x1​x2​⋮xn​​⎠⎟⎟⎟⎞​=x1​col1​+x2​col2​+⋯+xn​coln​.

$(2)\quad A\begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}=col_i.$(2)A⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​0⋮1⋮0​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​=coli​.

例2 计算：

$（1）\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix};$（1）⎝⎛​120​2−12​142​⎠⎞​⎝⎛​111​⎠⎞​;

$（2）\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix};$（2）⎝⎛​120​2−12​142​⎠⎞​⎝⎛​101​⎠⎞​;

$（3）\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix};$（3）⎝⎛​120​2−12​142​⎠⎞​⎝⎛​001​⎠⎞​;

$（4）\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}$（4）⎝⎛​120​2−12​142​⎠⎞​⎝⎛​111​101​001​⎠⎞​

解：（1）由公式（1），

$\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\5\\4\end{pmatrix}.$⎝⎛​120​2−12​142​⎠⎞​⎝⎛​111​⎠⎞​=1⋅⎝⎛​120​⎠⎞​+1⋅⎝⎛​2−12​⎠⎞​+1⋅⎝⎛​142​⎠⎞​=⎝⎛​454​⎠⎞​.

(2) 由公式（1），

$\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\6\\2\end{pmatrix}.$⎝⎛​120​2−12​142​⎠⎞​⎝⎛​101​⎠⎞​=1⋅⎝⎛​120​⎠⎞​+0⋅⎝⎛​2−12​⎠⎞​+1⋅⎝⎛​142​⎠⎞​=⎝⎛​262​⎠⎞​.

(3) 由公式（2），

$\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}.$⎝⎛​120​2−12​142​⎠⎞​⎝⎛​001​⎠⎞​=⎝⎛​142​⎠⎞​.

(4) 由（1）-（3）题，用左边的矩阵每次乘以右边矩阵的一列，得，

$\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&2&1\\5&6&4\\4&2&2\end{pmatrix}.$⎝⎛​120​2−12​142​⎠⎞​⎝⎛​111​101​001​⎠⎞​=⎝⎛​454​262​142​⎠⎞​.

结束的话

掌握了上面的计算矩阵乘法的方法，一次算一列，是不是感觉特棒？

(未完待续)

---

更多内容，欢迎用微信扫描下图中的二维码，或搜索“大哉数学之为用”，免费关注微信公众号“大哉数学之为用”进行阅读。

如果您觉得本文对您有帮助，欢迎赞赏！您的支持是作者继续下去的动力！