线性代数的本质——行列式

1、行列式的几何意义：矩阵所对应的线性变换改变面积（体积）的比例。通常以基向量组构成的矩阵为研究对象。
如二维下，基向量y（0，1）和x（1，0）构成了单位矩阵面积为1.进行线性变换，变换矩阵为[3,2;0,2]，即变换后x轴单位向量(1,0)变换到（3，0），y轴单位向量变换到（2，2），变换后面积为6，是原面积的6倍。（注：在变换后的空间中，这是一个被均匀放大倾斜的空间，单位向量组成的图像不再是标准的面积为1的单位矩形，而是一个面积为6的单位平行四边形，且空间内所有的区块都进行同等尺度的变换，这也是线性变换的特点，均匀，等尺度。）


2、特别的：当矩阵行列式为0，说明它将原空间线性变换后压缩为一条线或一个点（二维情况下），即使原空间维度降低。这也解释了为何矩阵列向量线性相关时，经过它的线性变换后，原空间发生维度衰减。它的行列式为0。

3、特别的：当行列式为负数，表示矩阵的线性变换将原空间的定向发生了改变，如平面翻转。更为直观的就是变换后坐标轴的相对位置发生了变换。（三维空间下，一般情况下建系是符合右手定则的，若线性变换后，任然满足右手定则，则行列式一定为正，若不能满足右手定则，即变成了左手定则，则称空间发生了定向改变，行列式为负）。但行列式的绝对值任然表示面积的缩放比例。


4、逆矩阵、列空间、秩、零空间
首先考虑线性方程组，Ax=b，可理理解为，A是对原空间的一个线性变换，x为原空间中的一个向量，经过变换后变成了b向量。求原空间向量x。解法：寻找A的逆，思想是怎么变换过来的，就怎么变回去。A^-1也是一种线性变换，当空间经过一个A变换，再经过一个A^-1变换，应该还是原空间，即A^-1*A的复合变换是一个恒等变换（空变换，没有发生改变），结果还是原空间，坐标轴还是(1,0),(0,1)，即结果是一个单位矩阵。

若A的变换将空间维度压缩了呢？即A的行列式为0又该如何？
此时A没有逆，即原空间经过线性变换A之后维度降低，变换不回去了，因为变换回去需要增加一个维度。但仍然有可能有解。当x向量经过A变换后的b向量正好处于原空间降维后的空间，即x向量不依赖那个被衰减的维度，那么x还是有解的，否则无解，因为它依赖于一个无法还原的维度。

秩：秩代表矩阵对应的线性变换后空间的维数。如3x3的矩阵，若秩为2，表示这个矩阵对3维空间会进行压缩变换，压缩成为2维空间，一个平面。若秩为1，表示压缩更严重，压成一条线。秩为0，压成一个点。

矩阵的列空间：矩阵所对应的线性变换的所有可能的结果的集合（包含原空间及所有它的降维空间）。列空间就是矩阵的列所张成的空间（原空间——列不相关，降一维空间——一个列是其他列的线性组合，即相关）。

满秩：秩等于列向量个数。空间不会被压缩维度。

5、非方程补充
一般矩阵，非方阵变换，不同维度空间之间的映射。
a.将3维映射到2维

b.将2维映射到3维