代数方程根在复平面上分布的几何说明

人们在代数方程根的研究主要由于三个方向：

１>关于根的存在性问题．

 2>不求解方程而按照它的系数去探索它的根的一些性质，例如它是否具有实数根，有多少个，几个正的几个负的等等问题．

 3>关于方程的根的近似计算问题．

第一个问题，由于伽罗瓦的横空出世而获得彻底解决，并由此发展出了近世代数和群论用来解决更一般性问题．由于计算机的发展，第三个问题也得到很好解决，牛顿法在例如matlab, octave，python等工具中得到广泛应用，用这些方法的工具可以很快的解出高次方程的数值解．

关于第二个根分布的问题，在控制科学里面得到广泛应用，在控制系统里面，传递函数的根轨迹是控制系统是否稳定的重要依据，现在还依稀记得当时学习自动控制原理的时候，绘制传递函数的根轨迹的问题．但当时体会不到和代数方程里面的联系原来有这么深刻，最近看了基本关于这个方向的扫盲书，有些新的，记录下来，并且尝试用数形结合的方式说明，这样更直观，容易说清楚理论的东西究竟在现实中有什么意义．

多项式的形式和导数:

 对于形如

 

的多项式，在二维笛卡尔坐标系中用一条曲线表示，参照二次函数的叫法，可以称为n阶抛物线，首先，对于任意实的,显然有且仅有一个确定的实数

所以函数图像可以左右延伸到任意远的地方，而且和随的变化而连续变化，即没有跳跃和突变，图像没有尖峰，所以的图像是光滑的曲线，对于绝对值很大的来说，第一项

的绝对值大于其余一切项的和的绝对值，因为他们都具有较低的次数，所以，如果n是偶数，当时，的图像就向左右方的高处无线延伸，就向低处．

 反之，如果n是奇数，则根据的正负不同，左右两边各向对角方向伸展．

所有多项式在定义与域内都可导的．并导数也是一个多项式:

 

例如对于十次多项式：

其图像为：

绿色曲线是原多项式，紫色曲线是导数多项式.

不要看到原多曲线有尖峰就断言它不可导，实际上放大看，在尖峰处，函数图像斜率并没有突变，还是很平滑的．根据此图像，我们可以得到结论：

原多项式有四个实根，两个正根和两个负根

导多项式有五个根，两个负根，三个正根．

实际上不满足这里讨论的多项式所有根都是实的条件，所以出现了导多项式实根数大于原多项式的实根数，猜测可能是经过求导运算，高维空间的复数根投影到了三维空间里面，成了它的一个实数根．:)

多项式的单根和重根：

对于多项式：

如果是一个根，那么

一定可以被多项式整除，更进一步，如果不能被

整除，那么式多项式的单根，一般的说法，如果多项式能被

整除，而不能被

那么，数a叫做多项式的k重根.

例如：

是方程

的2重根,而是方程

的单重根．结论很明显．

在代数方程上，k重根应当理解为k个相等的根，而不能认为是一个根．这样理解，就可以很自然的把方程的根数和多项式的次数联系起来．如果约定没一个根所算的次数就是它的重数，那由于每一个n次多项式可以分解为n个一次因子的乘积，多项式的根数就等于它的次数．

多项式的导数的根：

有两条规则：

1.多项式的单根不是它导数的根．

2.多项式的重根是它的导数的根并且重数减１.

设x=a是多项式的k重根，则下面的必定不能被整除.

求导得:

由于

项的存在，必定不能被整除．

所以，如果

是多项式方程

的k重根，那么同样x=a是的 k-1重根．

所以，当k＝１和k>1时，上面的两条结论得到证明．

下面的讨论仅限于方程的一切根都是实根的情况．

多项式的导数的根与原函数的关系:

假如方程的一切根都是实根，则可以应用罗尔定理，下面图像是方程：

的图像，它的所有根都是实根．

则根据罗尔定理：

罗尔定理:假设函数在闭区间内连续，在开区间内可导，如果,那么在开区间内至少存在一点,使得,也就是说c是的根．

由于

所以一定存在

其中:

观察函数图像，的确是这样，注意图像中Extremum(f)的返回值

由于仅有６次，而我们已经找到了它的六个根，所以这六个实根是它的全部的根．

最高次７次，有７个实根.

最高次６次，有６个实根．

所以不出意外，后面可以继续往下写：

最高次5次，有5个实根．

最高次4次，有4个实根．

最高次3次，有3个实根．

最高次2次，有2个实根．

\最高次1次，有1个实根．

是０次，为常数．

的图形（绿色）与：五个根

的图形与：四个根

的图形与：三个根

的图形与：两个根

的图形与：一次直线，１个根

的图形与：常数7!=5040.无根

可见，猜测是对的！

更一般的结论是：

如果实数a与b是实系统多项式的根，那么在a与b之前有一实数c存在，而且它是导数多项式的根，这是罗尔定理的另一种描述，根据这个定理，可以得到推论，对于多项式

，如果它的一切根都是实的，那么它的导数的一切根也是实的，在的相邻两根之间有的一个根，并且是一个单根．

因为设

是的所有根，它们分别具有重数

则必然

根据前面的导数重根的结论，导数有根

且其重数为：

所以一共有

个根，由于是一次的，按道理应该有

个根，那还差

个根，这些根从哪里来呢？很显然，再一次应用罗尔定理，还有至少有根

分别在相邻两根的区间：

里面．这样，总根数:

．

满足代数基本定理根个数等于次数的条件，所以我们找到了所有的根，所有根都是实数，且除了重根外，其余单k-1个单根分布在k-1个区间里面，根据抽屉原理，每个区间最多只有一个，不可能有多个，所有有且仅有的条件也得到证明．

用图形表示如下：

进一步，根据罗尔定理，不但可以确定导函数多项式根的个数，还可以据此判断正根的个数，如果多项式的一切根都是实的，并且其中有p个是正的，那么有p个或者p-1个正根．

实际上，设:

是多项是f(x)的一切正根，它们分别具有重数

则：

导数将具有这些正根:

,分别具有重数，　和，分别位于区间内，是单根，另外，还有可能有一个单根

位于区间之内，此处是f(x)最大的负根或者０根．因此，正根数应该是:

或者

后者是考虑到的存在．

比如，下图原函数正根数有四个，导函数正根数有三个．注意没有到正轴这边来．

实际上，通过微调多项式系数，可以将调整为正的，如下图，将从上图中的0.8调整到下图中的0.4,会发现变成了正的，这样，导数多项式的正跟数从三个变成四个了，和原函数的正根数目相同，所以上面的结论得到实践证明．

正根的规律讨论清楚了，负根自然也就清楚了，他们的和等于多项式次数．

结束！