线性代数笔记系列（三）

• 一、非齐次线性方程组解的个数判定：

1）唯一解：$r(系数) = r(增广) = n \Leftrightarrow |A| \ne 0$r(系数)=r(增广)=n⇔∣A∣​=0 ;
2）无穷解：$r(系数) = r(增广) < n \Rightarrow |A| = 0$r(系数)=r(增广)<n⇒∣A∣=0 ;
3）无解/不相容：$r(系数) < r(增广) \Rightarrow |A| = 0$r(系数)<r(增广)⇒∣A∣=0 ;

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• 二、齐次线性方程组解的个数判定：

1）唯一解/零解：$r = n \Leftrightarrow |A| \ne 0$r=n⇔∣A∣​=0 ;
2）无穷解：$r < n \Leftrightarrow |A | = 0$r<n⇔∣A∣=0;

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• 三、求解矩阵方程的方法：

1）初等变换：

① $AX = B: （A|B）\Rightarrow (E|X)$AX=B:（A∣B）⇒(E∣X)；

② $XA = B: (A^T | B^T) \Rightarrow (E | X^T)$XA=B:(AT∣BT)⇒(E∣XT)；

2）逆矩阵法：

① $AX = B: X = A^{-1}B$AX=B:X=A−1B；
② $XA = B: X = BA^{-1}$XA=B:X=BA−1；

3）克拉默法则:

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• 四、线性方程Ax=b的解的结构：

1）基础解系：

$Ax=b$Ax=b的解，将A化为行最简阶梯型矩阵，可得到含n-r个参数的由n-r个解列向量线性组合而成的基础解系（一般n-r个解是依次令参数$c_i=1$ci​=1，其余$c_j=0$cj​=0，从而得到一组线性无关的解集）；

2）通解：

对于齐次线性方程组而言，基础解系为其通解，基础解系生成的线性空间叫做解空间；

对于非齐次线性方程组而言，其导出组（即对应的齐次方程组）的通解，再加上一组特解，即为非齐次线性方程组的通解，特解的构造方法一般是将$(A | b)$(A∣b)化为A的行最简阶梯型矩阵，再令n-r个参数全为零，此时得到的解，就是一个特解）；

3）矩阵方程$AX=B$AX=B与线性方程组$Ax=b$Ax=b的解的关系：

$AX=B$AX=B的解矩阵X的任一列向量x，即是B中对应列b构成线性方程组$Ax=b$Ax=b的解；

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