线性代数的本质 - 05 - 行列式

行列式

行列式的值就是按照这个矩阵变换后的 i-hat 和 j-hat 组成的区域的面积的缩放倍数。因为变换时保持“所有线平行且原点不变”的，所以这个倍数是任何区域面积变化的倍数。

行列式被用来描述一个变换对空间的缩放程度。

一个二维线性变化的行列式值为0，表示它将空间压缩到了一条直线或一个点上。所以，用行列式就可以知道变换是否给空间降了维。

其实行列式是允许负值的，负值与空间的方向有关。一种考虑是负值意味着将空间翻转了一下。另一种考虑是根据 i-hat 和 j-hat 的相对位置。

为什么行列式负值和空间翻转相关？

考虑一个j-hat不变，而i-hat逐渐靠近j-hat 的变换，很轻易的看出行列式的值慢慢变小，当i-hat和j-hat重合时值为0。那么此时i-hat继续移动，行列式的值变成负的也就很自然了。

三维下的行列式

依然是变换前后的缩放比例，只不过是一个平行六面体的体积。

此时行列式为0，意味着空间被压缩成一个体积为0的东西，可能是一个面、一条线或一个点。

此时行列式为负数，依然是和方向相关。有一种方法来描述三维空间的取向，就是“右手定则”。

行列式的计算

det([abcd])=ad−bc$det\left(\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]\right)=ad-bc$

det⎛⎝⎜⎡⎣⎢adgbehcfi⎤⎦⎥⎞⎠⎟=a×det([ehfi])−b×det([dgfi])+c×det([dgeh])$det\left(\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]\right)=a\times det\left(\left[\begin{array}{cc}e& f\\ h& i\end{array}\right]\right)-b\times det\left(\left[\begin{array}{cc}d& f\\ g& i\end{array}\right]\right)+c\times det\left(\left[\begin{array}{cc}d& e\\ g& h\end{array}\right]\right)$

根据行列式的几何意义，我们也很容易得到这个式子：

det(M1M2)=det(M1)det(M2)$det(M_1{M}_2)=det(M_1)det(M_2)$