牛顿方法，指数分布族，广义线性模型

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本节内容

牛顿方法
指数分布族
广义线性模型

之前学习了梯度下降方法，关于梯度下降（gradient descent），这里简单的回顾下【参考感知机学习部分提到的梯度下降(gradient descent)】。在最小化损失函数时，采用的就是梯度下降的方法逐步逼近最优解，规则为θ:=θ−η∇θℓ(θ)。其实梯度下降属于一种优化方法，但梯度下降找到的是局部最优解。如下图：

本节首先讲解的是牛顿方法（NewTon’s Method）。牛顿方法也是一种优化方法，它考虑的是全局最优。接着还会讲到指数分布族和广义线性模型。下面来详细介绍。

1.牛顿方法

现在介绍另一种最小化损失函数ℓ(θ)的方法——牛顿方法,参考Approximations Of Roots Of Functions – Newton’s Method
。它与梯度下降不同，其基本思想如下：

假设一个函数f(x)=0,我们需要求解此时的x值。如下图所示：

图1 f(x0)=0,a1,a2,a3,...逐步接近x0.

在
a1点的时候，f(x)切线的目标函数y=f(a1)+f′(a1)(x–a1). 由于(a2,0)在这条线上，所以我们有0=f(a1)+f′(a1)(a2–a1),so:

a 2 = a 1 - f (a 1) f' (a 1)

同理，在a2点的时候，切线的目标函数y=f(a2)+f′(a2)(x–a2). 由于(a3,0)在这条线上，所以我们有0=f(a2)+f′(a2)(a3–a2),so:

a 3 = a 2 - f (a 2) f' (a 2)

假设在第n次迭代，有f(an)=0,那么此时有下面这个递推公式：

a n = a n - 1 - f (a n - 1) f' (a n - 1)

其中n>=2.

最后得到的公式也就是牛顿方法的学习规则，为了和梯度下降对比，我们来替换一下变量，公式如下：

θ : = θ - f (θ) f' (θ)

那么问题来了，怎么将牛顿方法应用到我们的问题上，最小化损失函数ℓ(θ)(或者是求极大似然估计的极大值)呢？

对于机器学习问题，现在我们优化的目标函数为极大似然估计ℓ，当极大似然估计函数取值最大时，其导数为 0，这样就和上面函数f取 0 的问题一致了，令f(θ)=ℓ′(θ)。极大似然函数的求解更新规则是：

θ : = θ - ℓ' (θ) ℓ'' (θ)

对于ℓ，当一阶导数为零时，有极值；此时，如果二阶导数大于零，则ℓ有极小值，如果二阶导数小于零，则有极大值。

上面的式子是当参数θ为实数时的情况，下面我们要求出一般式。当参数为向量时，更新规则变为如下公式：

θ : = θ - H - 1 \nabla θ ℓ (θ)

其中∇θℓ(θ)和之前梯度下降中提到的一样，是梯度，H是一个n∗n的矩阵，H是函数的二次导数矩阵，被成为Hessian矩阵。其某个元素Hij 计算公式如下：

H i j = \partial 2 ℓ (θ) \partial θ i θ j

和梯度下降相比，牛顿方法的收敛速度更快，通常只要十几次或者更少就可以收敛，牛顿方法也被称为二次收敛（quadratic convergence），因为当迭代到距离收敛值比较近的时候，每次迭代都能使误差变为原来的平方。缺点是当参数向量较大的时候，每次迭代都需要计算一次 Hessian 矩阵的逆，比较耗时。

2.指数分布族（The exponential family）

指数分布族是指可以表示为指数形式的概率分布。指数分布的形式如下：

P (y; η) = b (y) e x p (η T T (y) - a (η))

其中，η成为分布的自然参数（nature parameter）；T(y)是充分统计量（sufficient statistic），通常 T(y)=y。当参数 a、b、T 都固定的时候，就定义了一个以η为参数的函数族。

下面介绍两种分布，伯努利分布和高斯分布，分别把它们表示成指数分布族的形式。

伯努利分布

伯努利分布是对0，1问题进行建模的，对于Bernoulli（φ）,yϵ{0,1}.有p(y=1;φ)=φ;p(y=0;φ)=1−φ，下面将其推导成指数分布族形式：

将其与指数族分布形式对比，可以看出：

表明伯努利分布也是指数分布族的一种。从上述式子可以看到，η的形式与logistic函数（sigmoid）一致，这是因为 logistic模型对问题的前置概率估计其实就是伯努利分布。

高斯分布

下面对高斯分布进行推导，推导公式如下（为了方便计算，我们将方差 σ设置为1）：

将上式与指数族分布形式比对，可知：

b (y) = 1 2 π - - \sqrt e x p (- 12 y 2)

T (y) = y

η = μ

a (η) = 12 μ 2

两个典型的指数分布族，伯努利和高斯分布。其实大多数概率分布都可以表示成指数分布族形式，如下所示：

伯努利分布（Bernoulli）：对 0、1 问题进行建模；
多项式分布（Multinomial）：多有 K 个离散结果的事件建模；
泊松分布（Poisson）：对计数过程进行建模，比如网站访问量的计数问题，放射性衰变的数目，商店顾客数量等问题；
伽马分布（gamma）与指数分布（exponential）：对有间隔的正数进行建模，比如公交车的到站时间问题；
β 分布：对小数建模；
Dirichlet 分布：对概率分布进建模；
Wishart 分布：协方差矩阵的分布；
高斯分布（Gaussian）；

下面来介绍下广义线性模型（Generalized Linear Model, GLM）。

3.广义线性模型（Generalized Linear Model, GLM）

你可能会问，指数分布族究竟有何用？其实我们的目的是要引出GLM，通过指数分布族引出广义线性模型。

仔细观察伯努利分布和高斯分布的指数分布族形式中的η变量。可以发现，在伯努利的指数分布族形式中，η与伯努利分布的参数φ是一个logistic函数（下面会介绍logistic回归的推导）。此外，在高斯分布的指数分布族表示形式中，η与正态分布的参数μ相等，下面会根据它推导出普通最小二乘法（Ordinary Least Squares）。通过这两个例子，我们大致可以得到一个结论，η以不同的映射函数与其它概率分布函数中的参数发生联系，从而得到不同的模型，广义线性模型正是将指数分布族中的所有成员（每个成员正好有一个这样的联系）都作为线性模型的扩展，通过各种非线性的连接函数将线性函数映射到其他空间，从而大大扩大了线性模型可解决的问题。

下面我们看 GLM 的形式化定义，GLM 有三个假设：

(1) y|x;θ ExponentialFamily（η）；给定样本x与参数θ，样本分类y 服从指数分布族中的某个分布；
(2) 给定一个 x，我们需要的目标函数为hθ(x)=E[T(y)|x];
(3)η=θTx。

依据这三个假设，我们可以推导出logistic模型与普通最小二乘模型。首先根据伯努利分布推导Logistic模型，推导过程如下:

h θ (x) = E [T (y) | x] = E [y | x] = p (y = 1 | x; θ)

= φ

= 1 1 + e - η

= 1 1 + e - θ T x

公式第一行来自假设(2)，公式第二行通过伯努利分布计算得出，第三行通过伯努利的指数分布族表示形式得出，然后在公式第四行，根据假设三替换变量得到。

同样，可以根据高斯分布推导出普通最小二乘，如下：

h θ (x) = E (T (y) | x) = E [y | x]

= μ

= η

= θ T x

公式第一行来自假设（2），第二行是通过高斯分布y|x;θ~N(μ,σ2)计算得出，第三行是通过高斯分布的指数分布族形式表示得出，第四行即为假设（3）。

其中，将η与原始概率分布中的参数联系起来的函数成为正则相应函数（canonical response function），如φ=11+e−η、μ=η即是正则响应函数。正则响应函数的逆成为正则关联函数（canonical link function）。

所以，对于广义线性模型，需要决策的是选用什么样的分布，当选取高斯分布时，我们就得到最小二乘模型，当选取伯努利分布时，我们得到 logistic 模型，这里所说的模型是假设函数 h 的形式。

最后总结一下：广义线性模型通过假设一个概率分布，得到不同的模型，而梯度下降和牛顿方法都是为了求取模型中的线性部分(θTx)的参数θ的。

多分类模型-Softmax Regression

下面再给出GLM的一个例子——Softmax Regression.

假设一个分类问题，y可取k个值，即yϵ{1,2,...,k}。现在考虑的不再是一个二分类问题，现在的类别可以是多个。如邮件分类：垃圾邮件、个人邮件、工作相关邮件。下面要介绍的是多项式分布（multinomial distribution）。

多项式分布推导出的GLM可以解决多类分类问题，是 logistic 模型的扩展。对于多项式分布中的各个y的取值，我们可以使用k个参数ϕ1,ϕ2,...,ϕk来表示这k个取值的概率。即

P (y = i) = ϕ i

但是，这些参数可能会冗余，更正式的说可能不独立，因为∑ϕi=1，知道了前k-1个，就可以通过1−∑k−1i=1ϕi计算出第k个概率。所以，我们只假定前k-1个结果的概率参数ϕ1,ϕ2,...,ϕk−1，第k个输出的概率通过下面的式子计算得出：

ϕ k = 1 - \sum i = 1 k - 1 ϕ i

为了使多项式分布能够写成指数分布族的形式，我们首先定义 T(y)，如下所示：

和之前的不一样，这里我们的T(y)不等y，T(y)现在是一个k−1维的向量，而不是一个真实值。接下来，我们将使用(T(y))i表示T(y)的第i个元素。

下面我们引入指数函数I，使得：

I (T r u e) = 1, I (F a l s e) = 0

这样，T(y)向量中的某个元素还可以表示成：

(T (y)) i = I (y = i)

举例来说，当y=2时，T(2)2=I(2=2)=1，T(2)3=I(2=3)=0。根据公式 15，我们还可以得到：

E [(T (y)) i] = \sum y = 1 k (T (y)) ϕ i = \sum y = 1 k I (y = i) ϕ i = ϕ i

\sum i = 1 k I (y = i) = 1

下面，二项分布转变为指数分布族的推导如下：

其中，最后一步的各个变量如下：

由η的表达式可知：

η i = l o g ϕ i ϕ k \Rightarrow ϕ i = ϕ k e η i

为了方便，再定义：

η k = l o g ϕ k ϕ k = 0

于是，可以得到：

\sum j = 1 k ϕ i = \sum j = 1 k ϕ k e η i = 1 \Rightarrow ϕ k = 1 \sum k j = 1 e η i

将上式代入到ηi=logϕiϕk⇒ϕi=ϕkeηi，得到：

ϕ i = e η i \sum k j = 1 e η i = e η i 1 + \sum k - 1 j = 1 e η i

从而，我们就得到了连接函数，有了连接函数后，就可以把多项式分布的概率表达出来:

P (y = i) = ϕ i = e η i 1 + \sum k - 1 j = 1 e η i = e θ T i x 1 + \sum k - 1 j = 1 e θ T j x

注意到，上式中的每个参数ηi都是一个可用线性向量θTix表示出来的，因而这里的θ其实是一个二维矩阵。

于是，我们可以得到假设函数 h 如下：

那么就建立了假设函数，最后就获得了最大似然估计

对该式子可以使用梯度下降算法或者牛顿方法求得参数θ后，使用假设函数h对新的样例进行预测，即可完成多类分类任务。这种多种分类问题的解法被称为 softmax regression.

References

Approximations Of Roots Of Functions – Newton’s Method
机器学习-Andrew Ng 斯坦福大学机器学习视频-第四讲