信号与系统：如何理解卷积，掌握几点超简单

卷积的理解：超简单

信号与系统书上原话：如果已知一个线性系统对每一个移位单位脉冲序列的响应，那么系统对任何输入的响应都可求出。

1.咱们学的是信号与系统，那么我们首先有疑惑的就是这玩意为啥要进行卷积运算啊。电路不就是电阻、电容和电阻等一切元器件组成的，U/R不就是电流吗，还是瞬时间的啊，那电阻不变电压不变每时刻的电流不都一样吗，为啥要卷积运算啊。（这个问题就是我当初疑惑的，什么翻转、移位、相乘再相加）

2.咱们首先要知道的第一点就是，任何系统包括咱们熟知的电路系统，他都是有延迟的，这个不难理解吧，比如电容他要对电流在时间上进行积分，有延时没错吧。

3.最重要的一点：如何理解单位脉冲响应
就拿最简单的弹簧阻尼系统来解释（相信大家也看过其他视频都是拿弹簧阻尼系统来解释的，为什么？就因为他好理解）
假如说我们突然给这个系统瞬时间给了他一脚，那么弹簧就会不断的震荡下取，因为有阻尼有摩擦有能量消耗所以他会不断的衰减下去，他在时间上会有一个波形，不放在直角坐标系当中建立一个位移和时间t的函数，那么大概就是这样的：

重点来了：这个瞬时间的一脚就是单位脉冲，而弹簧的X(t)-t的图像就是单位脉冲序列的响应，到这里因该看明白了吧，响应他会存在一段时间，他虽然到后面趋紧于稳定，但是在正无穷的时间上看他一直存在（当然这违反能量守恒，我的意思就是说他的响应在时间上存在相当长的时间，因系统而异）
这就照应了开头的第一句话，如果已知道单位脉冲序列的响应那么可以求出任何输入的响应。
移不变性质：就上图的响应，当某一时间他稳定了，我再去踢他一脚那么他的响应还是这样的，这个没毛病吧
线性：满足叠加原理，如果我在他没稳定的时候又给了一脚，那么他响应还是这样不过会叠加在一块而已，上图:
如果我们要计算在第二脚瞬时间的位移是多少，那么很简单吧，就是第一次响应传播到这个时间的位移加上第二次响应这一刻时间的位移，叠加 没毛病吧
这就是卷积啊，等会再理解卷积怎么就符合上面的系统的叠加啦

先上一个离散卷积的求和公式：

重点我再后面加了一个移位单位脉冲序列（这个不参加计算）只是为了方便理解，我觉得图画的已经很好啦吧，不需要解释了。。。
权重：一个单位的脉冲和成倍的单位脉冲，这就是权重啊
加入你的输入是从0到10都有，那么响应无非就是成倍的，6倍7倍的单位脉冲响应，幅值变大了啊。怎么求某一时刻的输出，上面说了吧，叠加就ok

下面举个例子：假如说我要时刻n=3的输出（我们只考虑0时刻之后的，之前的推给哲学家）
那么有：
1. X[3] h[3-3]
2. X[2] h[3-2]
3. X[1] h[3-1]
4. X[0] h[3-0]
先分析第一个，X[3]也就是n=3当下时刻的输入，那么他的响应刚刚开始，所以是h[0]，所以说X[3]倍的权重乘以一个响应的最开始的那个值（也就是h[0]，这么说怕你们有误会0时刻的h[0]又是什么）
再分析最后一个X[0]，这个就是在0时刻（时间轴上0时刻，就刚才说的那个0时刻之前推给哲学家考虑的0时刻，也就是你第一次去踢这个弹簧的时间），他在n=3当下时刻的输出是什么，因为你是在0时刻踢了一脚，那么在传播到n=3时刻的响应应该就是h[3]吧，没毛病吧。那么就还是X[0]倍的单位脉冲响应乘以h[3]时刻响应的幅值啊
X[1]要比X[0]晚发生一个单位，那么他的传播距离肯定要比X[1]晚一个单位，X[0]传播到h[3]那么X[1]就传播到了h[2]
非常好，非常好，非常好
非常好，非常好，非常好
非常好，非常好，非常好

最后总结一句话就是:

“发生越早的，传播的越远，像X[3]他还没来得及传播所以就是乘以h[0]”

如果大家玩过哪个可以内部转动的球，你越转他他的力道越强，他需要叠加吗，这也是一个线性时不变系统，大自然很多系统都是这样。