深度学习之卷积操作中的img2col-理论篇

卷积运算

众所周知，在深度学习（这里主要指计算机视觉）中，卷积操作是一个重要的操作，卷积操作的对象通常是一个3D Matrix，形如[height, width, channels]，卷积操作中对应的单个卷积核形状为[k, k, channels]，如下图所示：

该卷积核在输入数据上，从左到右，从上到下，以一定的步长（stride）进行滑动，每滑动到一个位置便计算对应的输出值，卷积运算的可视化过程如下所示：

上图中，蓝色部分表示输入数据，淡红色的区域表示卷积核所处的区域，绿色部分是卷积运算后的输出数据。

img2col

img2col理论上就是将一个3D Matrix的输入数据变成2D Matrix，即[height, width, in_channels] --> [height * width, k * k * in_channels]， 如下图所示。（这里假设了输入输出height和width相同，如果不相同，则输出应变为out_height和out_width）

从上图可以看到，img2col的输出上，行数是卷积核在输入数据上的移动次数，也就是out_heigth * out_width，列数就是一个卷积核的元素个数。经过上述变换，相当于把原始的输入数据展开成了2D Matrix。
另外需要注意： 该操作并不是reshape！！！ 当卷积核移动步长较小时，每个卷积核的区域是有重叠的。因此通常情况下输出的2D Matrix的元素个数要大于输入的3D Matrix。

再对输入输入进行img2col后，我们下一步对卷积核进行变换。将一个维度为[k, k, in_channels]的卷积核变为[1, k * k * in_channels]，即将卷积核拉成1D Matrix（或者说是一维向量，统一用Matrix表示了）

上述两步操作完后，卷积操作就变成了如下如所示的矩阵乘法：

上面就是整个卷积流程。
另外刚才说过，对输入数据进行变换后，通常得到的2D Matrix元素要比原数据更多，那这么做的好处是什么？
简而言之就是：矩阵乘法有加速方法和内存访问方式，上述两点带来的收益要大于消耗的存储量。

参考：

https://petewarden.com/2015/04/20/why-gemm-is-at-the-heart-of-deep-learning/