前缀、中缀、后缀表达式(逆波兰表达式)
前缀表达式、中缀表达式、后缀表达式都是四则运算的表达方式,用以四则运算表达式求值,即数学表达式的求值。
中缀表达式
简介
中缀表达式就是常见的运算表达式，如(3+4)×5-6
后缀表达式
简介
后缀表达式又称逆波兰表达式,与前缀表达式相似，只是运算符位于操作数之后，比如:3 4 + 5 × 6 -
后缀表达式计算机求值
与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果
例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”：
- 从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
- 遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
- 将5入栈；
- 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
- 将6入栈；
- 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
将中缀表达式转换为后缀表达式
一、利用栈
与转换为前缀表达式相似，步骤如下：
１、初始化两个栈：运算符栈s1和储存中间结果的栈s2；
２、从左至右扫描中缀表达式；
３、遇到操作数时，将其压s2；
４、遇到运算符时，比较其与s1栈顶运算符的优先级：
- 如果s1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
- 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入s1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
- 否则，将s1栈顶的运算符弹出并压入到s2中，再次转到(4-1)与s1中新的栈顶运算符相比较；
５、遇到括号时：
- 如果是左括号“(”，则直接压入s1；
- 如果是右括号“)”，则依次弹出s1栈顶的运算符，并压入s2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
６、重复步骤2至5，直到表达式的最右边；
７、将s1中剩余的运算符依次弹出并压入s2；
８、依次弹出s2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）
例如：(A+B*C)/D
例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：
|
扫描到的元素 |
s2(栈底->栈顶) |
s1 (栈底->栈顶) |
说明 |
|
1 |
1 |
空 |
数字，直接入栈 |
|
+ |
1 |
+ |
s1为空，运算符直接入栈 |
|
( |
1 |
+ ( |
左括号，直接入栈 |
|
( |
1 |
+ ( ( |
同上 |
|
2 |
1 2 |
+ ( ( |
数字 |
|
+ |
1 2 |
+ ( ( + |
s1栈顶为左括号，运算符直接入栈 |
|
3 |
1 2 3 |
+ ( ( + |
数字 |
|
) |
1 2 3 + |
+ ( |
右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
|
× |
1 2 3 + |
+ ( × |
s1栈顶为左括号，运算符直接入栈 |
|
4 |
1 2 3 + 4 |
+ ( × |
数字 |
|
) |
1 2 3 + 4 × |
+ |
右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
|
- |
1 2 3 + 4 × + |
- |
-与+优先级相同，因此弹出+，再压入- |
|
5 |
1 2 3 + 4 × + 5 |
- |
数字 |
|
到达最右端 |
1 2 3 + 4 × + 5 - |
空 |
s1中剩余的运算符 |
因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”
二、 【简化法】
首先按照运算的先后顺序将表达式全部都添加上括号
(a+b)*c*(d-e/f)----> (((a+b)*c)*((d-(e/f))))
然后由于是后缀表达式，从里到外将所有运算符都拿到右括号的右边
(((ab)+c)*((d(ef)/)-))*
最后再将所有括号都去掉
ab+c*def/-*
同理，如果是变为前缀表达式的话，就把运算符拿到括号左边就可以啦
应用
１、P1175 表达式的转换
前缀表达式
简介
前缀表达式又称波兰式，前缀表达式的运算符位于操作数之前，比如:- × + 3 4 5 6
前缀表达式的计算机求值
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果
例如:- × + 3 4 5 6
- 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈
- 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈
- 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈
- 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果
将中缀表达式转换为前缀表达式
转换步骤如下:
１、初始化两个栈:运算符栈s1，储存中间结果的栈s2
２、从右至左扫描中缀表达式
３、遇到操作数时，将其压入s2
４、遇到运算符时，比较其与s1栈顶运算符的优先级
- 如果s1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈
- 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入s1
- 否则，将s1栈顶的运算符弹出并压入到s2中，再次转到(4-1)与s1中新的栈顶运算符相比较
５、.遇到括号时
- 如果是右括号“)”，则直接压入s1
- 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃
６、重复步骤2至5，直到表达式的最左边
７、将s1中剩余的运算符依次弹出并压入s2
８、依次弹出s2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式
例如:1+((2+3)×4)-5具体过程，如下表
|
扫描到的元素 |
S2(栈底->栈顶) |
S1 (栈底->栈顶) |
说明 |
|
5 |
5 |
空 |
数字，直接入栈 |
|
- |
5 |
- |
s1为空，运算符直接入栈 |
|
) |
5 |
-) |
右括号直接入栈 |
|
4 |
5 4 |
-) |
数字直接入栈 |
|
x |
5 4 |
-)x |
s1栈顶是右括号，直接入栈 |
|
) |
5 4 |
-)x) |
右括号直接入栈 |
|
3 |
5 4 3 |
-)x) |
数字 |
|
+ |
5 4 3 |
-)x)+ |
s1栈顶是右括号，直接入栈 |
|
2 |
5 4 3 2 |
-)x)+ |
数字 |
|
( |
5 4 3 2 + |
-)x |
左括号，弹出运算符直至遇到右括号 |
|
( |
5 4 3 2 + x |
- |
同上 |
|
+ |
5 4 3 2 + x |
-+ |
优先级与-相同，入栈 |
|
1 |
5 4 3 2 + x 1 |
-+ |
数字 |
|
到达最左端 |
5 4 3 2 + x 1 + - |
空 |
s1剩余运算符 |