一、二叉树概念

二叉树：一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：

• 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。
• 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

两种特殊的二叉树

满二叉树:

• 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。
• 也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1，则它就是满二叉树。

完全二叉树:

• 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。
• 对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。
• 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。即：完全二叉树就是没有满的满二叉树。

二、二叉树性质

1 . 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有2^(i-1)(i>0)个结点
我们以满二叉树为例：

⒉. 若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k一1 (K>=0)

证明：
我们以满二叉树为例，每层的节点数分别为2^1 ，2^2，… ，2^n，因此这是一个等比数列，深度为k的二叉树的最大节点数就是这些等比数列之和。等比数列求和公式：a1(1 - q^n)/(1-q)

3 . 对任何一棵二叉树,如果其叶结点个数为n0,度为2的非叶结点个数为n2,则有n0=n2+1

证明：

• 总结点数n=叶子节点n0 + 度为1的节点数n1 + 度为2的节点数n2；即：n=n0+n1+n2;
• 总结点数n=分支数（2n2+n1）+1；n2为两个分支数，n1为1个分支数，n0为0个分支数；即：n=2n2+n1+1;
• 联立上面两个方程：n0+n1+n2 = 2n2+n1+1 ===>n0=n2+1

4 . 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2(n +1)上取整

证明：

• 由第二条性质可知：深度为K的二叉树的最大结点数n是2^k一1;

• 因此有等式：n=2^k一1;化简可得:k=log2(n +1) 化简过程见下图。

• 

• 又因为是完全二叉树（不满的满二叉树），因此将结果向上取整。

5 . 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有:

• 若i>0，双亲序号:(i-1)/2; 如果 i=0，i为根节点编号，无双亲节点。
• 若2i+1<n，左孩子序号:2i+1，否则无左孩子
• 若2i+2<n，右孩子序号:2i+2，否则无右孩子