莱布尼兹逻辑加与包含关系命题13-21——逻辑与算法之十六
莱布尼兹逻辑加与包含关系命题13-21——逻辑与算法之十六
命题13-命题21是逻辑加命题的延续，逻辑加与包含关系融汇其中，我们按照片断的顺序，开始命题13-21的理解。
命题13：如果L⊕B=L，那么B在L中。
如果任意词项附加到另一个词项，并不改变另一个词项，那么，这个所附加的词项就在另一个词项之中。
证明：
1.B在L⊕B之中（依据定义4，包含的定义）
- L⊕B=L（依据假设）
3.以L替换L⊕B（依据相同的定义1）
所以，B在L中。
文字说明实例：
L是平行四边形，B是四边形。
四边的平行四边形就和平行四边形相同。
但就内涵而言，四边形的内涵在平行四边形之中。
而四边的平行四边形就和平行四边形相同。
命题13证明图形表示
RY⊕RX=RX。因此RY在RX之中。
RY在RX之中。因此RY⊕RX=RX。
很明显，命题14是命题13的逆命题，它在包含关系之外，提到了下属关系，现在一般称之为“包含于关系”。
命题14：如果B在L中，那么L⊕B=L，
被包含在另一个词项中的词项，即包含于另一个词项中的词项，如果将它和把它包含的词项逻辑加，则逻辑加所得结果，依然是包含它的那个词项，并没有给包含它的词项增加什么东西。
证明：
如果B在L中，则有
1.L=B⊕P（依据定义4）
2.L⊕B= B⊕P⊕B（依据1.与定义1，等量替换）
3.B⊕P⊕B= B⊕P（依据公理2，吸收律）
4.L⊕B= B⊕P（依据定义1，等量替换）
所以，L⊕B= L（依据1.与定义1等量替换）
证毕
命题15：如果A在B中，且B在C中，那么A也在C中。
包含于上位包含物中的东西，它所包含的东西也包含在那个包含物之中。
这是相当于传递律的一个命题。
证明：
1.A在B中，（依据假设）
2.所以，A⊕L=B（依据定义4）
类似的，
3.B在C中，
4.所以B⊕M=C。
5.用A⊕L替换B，有A⊕L⊕M=C（依据定义1相同替换）
所以，A在C中（依据定义4）
证毕
例举文字说明这个命题的证明
四边形是平行四边形的内涵，平行四边形是矩形的内涵（每个角都是直角）。如果我们不考虑概念本身，仅考虑个体事物被概念所包含，那么用A表示矩形，用B表示平行四边形，用C表示四边形，则这样的内涵关系可以逆转。所有的矩形包含在平行四边形的数目之中，所有的平行四边形包含在四边形的数目之中。因此，所有的矩形都包含在四边形之中。运用同样的方式，所有人都包含在动物之中，所有动物都包含在物质实体之中，因此所有的人都包含在物质实体之中。反过来看则是，物质实体概念在动物的概念之中，动物的概念在人的概念之中。人含有动物所具有的性质。
命题15的图形表示
RT在RS之中，RS在RX之中，因此RT在RS。
A表示矩形，用B表示平行四边形，用C表示四边形。
命题16：命题15的延伸，多项式传递定理略。
命题17：如果A在B中，且B在A中，那么A=B。
互相含有的词项是相同的词项。
证明：
1.A在B中，（依据假设）
2.A⊕N=B（依据定义4）
3.B在A中，（依据假设）
4.A⊕N在A中（依据定义1，用A⊕N替换B）
5.N在A中（依据定义4）
6.A⊕N=A（依据命题14）
所以，A=B（依据以上2，等同替换）
证毕.
例举文字说明
三边形是三角形，三角形也是三边形，因此三角形和三边形相同。类似的全知的这个词项和全能的这个词项相同。
命题图形说明：
RT，N，RS，A，SR⊕RT，B。
命题18：如果A在L中，且B也在L中，那么A⊕B也在L中。
两个任意词项的合成，其中的每一个都包含在第三个任意词项之中，则这个合成词项本身也包含在第三个词项之中。
证明：
1.A在L中（假设）
2.A⊕M=L，（定义4）
3.B在L中，（假设）
4.B⊕N=L，（定义4）
-
A⊕M⊕B⊕N=L⊕L，（命题16）
-
A⊕M⊕B⊕N=L，（公理2）
所以，A⊕B在L中，（定义4）
证毕
图形显示证明
RYS在RX中，YST在RX中，因此，RT在RX中。
文字说明略。
命题19：若A在L中，且B在L中，且C在L中，那么，A⊕B⊕C也在L中。还可以更多项的逻辑加。（证明略）
命题20：若A在M中，B在N中，那么，A⊕B在M⊕N中。
若一个对偶的前部属于后部，另一个对偶的前部也属于后部，那么，由两个前部合成的项，也属于两个后部合成的项。
证明：
1.A在M中（依据假设）
2.M在M⊕N中（依据定义4）
3.A在M⊕N中（依据命题15传递）
4.同理，B在M⊕N中
所以，A⊕B在M⊕N中。（依据命题18）
文字实例略
图形证明说明
RT在RY中，ST在SX中或者在RX中。
命题21：若A在M中，B在N中，C在P中，那么，A⊕B⊕C在M⊕N⊕P中。
这个命题21是命题20的延伸，由二项式变为多项式，证明略。