秩最小化的快照压缩成像

摘要

快照压缩成像（Snapshot compression imaging，简称SCI）是指将多帧图像映射到一个测量值中的压缩成像系统，视频压缩成像和高光谱压缩成像是两种具有代表性的应用。尽管高速视频和高光谱图像的令人兴奋的结果已经被证明，但是重建质量差阻碍了SCI的广泛应用。本文的目的是利用期望信号中的高维结构来提高SCI的重建质量。我们建立了一个将视频/高光谱帧的非局部自相似性和秩最小化方法与SCI感知过程相结合的模型。在此基础上，提出了一种交替极小化算法来解决这一非凸问题。我们进一步研究了SCI中采样过程的特殊结构，以解决SCI重建中的计算量和内存问题。

研究内容

与之前研究的压缩感知不同，SCI通常是高维的，例如，从单个256×256（像素）的测量帧中恢复出空间分辨率为256×256（像素）的148帧视频或恢复出256×256（像素）的由100个光谱信息的视图像。

采样方式

视频跨找压缩成像仪——CASSSI（其详细原理可以参见paper 8），其大致成像原理以及采样过程如下：

如上图所示，场景信息首先被投影到编码孔径上，而编码孔径起着空间调制的作用。空间调制的信息被棱镜光谱分散，最后被探测器捕获。

编码孔径与传感矩阵的关系图，其中传感矩阵$Φ$Φ由编码孔径图案决定。
SCI中的数学模型表示为：
其中$Φ∈R^{n×nb}$Φ∈Rn×nb为传感矩阵，$x∈R^{nb}$x∈Rnb为期望信号(desired signal)，$g∈R^n$g∈Rn为噪声。

这里考虑的传感矩阵不是稠密矩阵（dense matrix）,$Φ$Φ具有非常特殊的结构，可以写成:

其中${ {D_K} },K=1...B$DK​,K=1...B是对角矩阵。

以CACTI中的SCI为例，$X_K$XK​被$C_K$CK​调整压缩，测量值$Y$Y由以下给出：

对于位置$（i，j）$（i，j）处的所有$B$B帧中，

秩最小化的重构模型

在图像/视频处理中，由于自然图像中非局部相似块形成的矩阵是低秩的，因此针对各种任务提出了一系列低秩矩阵逼近方法[24]、[45]、[46]、[47]。低秩矩阵逼近的主要目的是从退化/损坏的观测值中恢复矩阵潜在的低秩结构。

在这些框架中，核规范最小化（NNM）[23]是最具代表性的一个。具体地说，给定一个数据矩阵$X∈ R^{b×m}$X∈Rb×m，NNM的目标是找到一个满足以下目标函数的低秩矩阵$Z∈^{b×m}$Z∈b×m的秩$r≤min(b，m)$r≤min(b，m)，

相似分组

核范数最小化模型

尽管有奇异值阈值模型[23]的理论保证，但已经观察到，在存在噪声的情况下，这种凸松弛的恢复性能将退化，并且该解可能严重偏离秩最小化问题的原始解[48]。为了缓解这个问题，Gu等人。[24]提出了加权核范数最小化（WNNM）模型：

其中，

下文将eq(10)称为SCI—WNNM。

模型求解(ADMM)

在ADMM(链接文章有ADMM的基本形式)框架下，我们在（10）中的问题中引入了一个辅助变量$θ$θ，

求解$θ$θ

公式（13）是一个二次型，故有肯定的解：



注意${y_i−[Φ(x+b)]_i},i=1,...,n$yi​−[Φ(x+b)]i​,i=1,...,n可以由$y−Φ(x+b)$y−Φ(x+b)一次性更新，${ψ_i},i=1,...,n$ψi​,i=1,...,n是预先储存和计算的:

求解$x$x

设$q=θ−b$q=θ−b，等式（14）可被视为WNNM去噪问题

回想一下，$Z_i$Zi​是由$x$x构造的第$i$i个patch群，让$R_i$Ri​表示由$q$q构造的第$i$i个patch群，对应于$Z_i$Zi​。（24）的结构非常复杂，为了得到一个可处理的解，我们做了一个一般的假设。具体而言，$q$q被视为$x$x的噪声版本，即$q=x+e$q=x+e，其中$e$e表示零均值高斯白噪声，每个元素$e_i$ei​遵循方差$σ^2_n$σn2​的独立零均值高斯分布，即：$e_i-N(0,σ^2_n)$ei​−N(0,σn2​)。值得注意的是在重建$Z_i$Zi​之后，我们可以
恢复$x$x。

算法