一、简介

约束优化问题的原问题（Primal Problem）的一般形式如下：

$\left\{\begin{matrix} \underset{x}{min}\; f(x),x\in \mathbb{R}^{p}\\ s.t.\; m_{i}(x)\leq 0,i=1,2,\cdots ,M\\ s.t.\; n_{j}(x)=0,j=1,2,\cdots ,N \end{matrix}\right.$⎩⎨⎧​xmin​f(x),x∈Rps.t.mi​(x)≤0,i=1,2,⋯,Ms.t.nj​(x)=0,j=1,2,⋯,N​

求解约束优化问题需要用到拉格朗日乘子法，定义拉格朗日函数：

$L(x,\lambda ,\eta )=f(x)+\sum_{i=1}^{M}\lambda _{i}m_{i}(x)+\sum_{j=1}^{N}\eta _{j}n_{j}(x)\\ \lambda ,\eta 分别是M维、N维向量$L(x,λ,η)=f(x)+i=1∑M​λi​mi​(x)+j=1∑N​ηj​nj​(x)λ,η分别是M维、N维向量

然后原问题可以转化为以下优化问题，这两个优化问题具有同样的解：

$\left\{\begin{matrix} \underset{x}{min}\; \underset{\lambda ,\eta }{max}\; L(x,\lambda ,\eta )\\ s.t.\; \lambda _{i}\geq 0 \end{matrix}\right.${xmin​λ,ηmax​L(x,λ,η)s.t.λi​≥0​

可以说明一下为什么上述约束优化问题可以求得原问题的最优解：

$以不等式约束为例\\ \left\{\begin{matrix} 如果x违反了约束m_{i}(x)\leq 0，即m_{i}(x)>0,由于\lambda _{i}\geq 0，\underset{\lambda }{max}\; L=\infty \\ 如果x符合约束m_{i}(x)\leq 0,由于\lambda _{i}\geq 0，\underset{\lambda }{max}\; L\neq \infty （此时\lambda _{i}=0） \end{matrix}\right.\\ 因此\underset{x}{min}\; \underset{\lambda }{max}\; L=\underset{x}{min}\left \{\underset{x符合约束}{\underbrace{\underset{\lambda }{max}\; L}},\underset{x不符合约束}{\underbrace{\infty }}\right \}$以不等式约束为例{如果x违反了约束mi​(x)≤0，即mi​(x)>0,由于λi​≥0，λmax​L=∞如果x符合约束mi​(x)≤0,由于λi​≥0，λmax​L​=∞（此时λi​=0）​因此xmin​λmax​L=xmin​⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​x符合约束λmax​L​​,x不符合约束∞​​⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫​

也就是说虽然拉格朗日函数对$x$x没有约束，但是在求解过程中会过滤掉不符合原问题$x$x的约束的$x$x。

二、对偶关系证明

原问题的对偶问题为

$\left\{\begin{matrix} \underset{\lambda ,\eta }{max}\; \underset{x}{min}\;L(x,\lambda ,\eta )\\ s.t.\; \lambda _{i}\geq 0 \end{matrix}\right.${λ,ηmax​xmin​L(x,λ,η)s.t.λi​≥0​

可以看到原问题是关于$x$x的函数，对偶问题是关于$\lambda ,\eta $的函数。有如下定理：

$\underset{\lambda ,\eta }{max}\; \underset{x}{min}\;L(x,\lambda ,\eta )\leq \underset{x}{min}\;\underset{\lambda ,\eta }{max}\;L(x,\lambda ,\eta )$λ,ηmax​xmin​L(x,λ,η)≤xmin​λ,ηmax​L(x,λ,η)

这个关系可以简单地得到证明：

$\underset{A(\lambda ,\eta )}{\underbrace{\underset{x}{min}\;L(x,\lambda ,\eta )}}\leq L(x,\lambda ,\eta )\leq \underset{B(x)}{ \underbrace{\underset{\lambda ,\eta }{max}L(x,\lambda ,\eta )}}\\ \Rightarrow A(\lambda ,\eta )\leq B(x)\\ \Rightarrow A(\lambda ,\eta )\leq min\; B(x)\\ \Rightarrow max\; A(\lambda ,\eta )\leq min\; B(x)\\ \Rightarrow \underset{\lambda ,\eta }{max}\;\underset{x}{min}\;L(x,\lambda ,\eta )\leq L(x,\lambda ,\eta )\leq \underset{x}{min}\;\underset{\lambda ,\eta }{max}\; L(x,\lambda ,\eta )$A(λ,η)xmin​L(x,λ,η)​​≤L(x,λ,η)≤B(x)λ,ηmax​L(x,λ,η)​​⇒A(λ,η)≤B(x)⇒A(λ,η)≤minB(x)⇒maxA(λ,η)≤minB(x)⇒λ,ηmax​xmin​L(x,λ,η)≤L(x,λ,η)≤xmin​λ,ηmax​L(x,λ,η)

三、对偶性的几何解释

$\left\{\begin{matrix} \underset{x}{min}\; f(x),x\in \mathbb{R}^{p}\\ s.t.\; m(x)\leq 0 \end{matrix}\right.\\ 其定义域D为dom\; f\cap dom\; m${xmin​f(x),x∈Rps.t.m(x)≤0​其定义域D为domf∩domm

对于上述约束优化问题，可以写出它的拉格朗日函数：

$L(x,\lambda )=f(x)+\lambda m(x),\lambda \geq 0$L(x,λ)=f(x)+λm(x),λ≥0

然后表示出原问题和对偶问题的最优解$p^*$p∗和$d^*$d∗：

$p^{*}=min\; f(x)\\ d^{*}=\underset{\lambda }{max}\; \underset{x}{min}\; L(x,\lambda )$p∗=minf(x)d∗=λmax​xmin​L(x,λ)

接着定义集合G：

$G=\left \{(m(x),f(x))|x\in D\right \}\\ =\left \{(u,t)|x\in D\right \}$G={(m(x),f(x))∣x∈D}={(u,t)∣x∈D}

集合G在二维坐标系下表示的空间假设为下图：

因此$p^*$p∗可以表示为：

$inf\left \{t|(u,t)\in G,u\leq 0\right \}$inf{t∣(u,t)∈G,u≤0}

$p^*$p∗在图中可以表示为：

同样地$d^*$d∗也可以用$u$u和$t$t来表示：

$d^{*}=\underset{\lambda }{max}\; \underset{x}{min}\; L(x,\lambda )\\ =\underset{\lambda }{max}\; \underset{g(\lambda)}{\underbrace{\underset{x}{min}\;(t+\lambda u)}}\\ =\underset{\lambda }{max}\;g(\lambda)\\ g(\lambda)=inf\left \{t+\lambda u|(u,t)\in G\right \}$d∗=λmax​xmin​L(x,λ)=λmax​g(λ)xmin​(t+λu)​​=λmax​g(λ)g(λ)=inf{t+λu∣(u,t)∈G}

$t+\lambda u=b$t+λu=b表示以$-\lambda $为斜率，以$为斜率，以b$为截距的直线，而$为截距的直线，而g(\lambda)$即为与区域$即为与区域G$相切最小截距的直线$相切最小截距的直线t+\lambda u=b的b$。如下图所示：

结合上图来看，而$d^*$d∗也就可以认为是调整斜率$-\lambda $使得直线$使得直线t+\lambda u=b$截距$截距b$最大时的$最大时的b$的值。可以想象无论直线怎么变动，所取得的极值$的值。可以想象无论直线怎么变动，所取得的极值d^{*$都不可能比$p}*$大，这也就解释了为什么对偶问题最优解总是小于等于原问题最优解。

如果$p^*>d^*$p∗>d∗则为弱对偶关系；如果$p^*=d^*$p∗=d∗则为强对偶关系。

在某些特殊情况下可以使得强对偶关系成立，在图中表示如下：

如果一个约束优化问题是凸优化问题且同时满足Slater条件，那么可以使得$d^*=p^*$d∗=p∗：

$凸优化+Slater条件\Rightarrow d^*=p^*$凸优化+Slater条件⇒d∗=p∗

但是$d^*=p^*$d∗=p∗并不能推出该约束优化问题是凸优化问题且同时满足Slater条件，这是因为Slater条件是$d^*=p^*$d∗=p∗的充分不必要条件，还有其他的条件可以使得约束优化问题满足$d^*=p^*$d∗=p∗。

四、Slater条件

Slater条件指的是$\exists \hat{x}\in relint\; D$∃x^∈relintD使得$\forall i=1,2,\cdots ,M\; m_{i}(\hat{x})<0$∀i=1,2,⋯,Mmi​(x^)<0。

$relint\; D$relintD指的是定义域除去边界的部分。

有以下两点说明：
①对于大多数凸优化问题，Slater条件是成立的；
②放松的Slater条件：M个$m_{i}(x)$mi​(x)中的仿射函数可以不用验证。因为在定义域内寻找一个满足所有$m_{i}(x)<0$mi​(x)<0的点是比较困难的，因此放松的Slater条件会减少一些复杂度。

五、KKT条件

对于原问题：

$\left\{\begin{matrix} \underset{x}{min}\; f(x),x\in \mathbb{R}^{p}\\ s.t.\; m_{i}(x)\leq 0,i=1,2,\cdots ,M\\ s.t.\; n_{j}(x)=0,j=1,2,\cdots ,N \end{matrix}\right.$⎩⎨⎧​xmin​f(x),x∈Rps.t.mi​(x)≤0,i=1,2,⋯,Ms.t.nj​(x)=0,j=1,2,⋯,N​

以及其对偶问题：

$\left\{\begin{matrix} \underset{\lambda ,\eta }{max}\; \underset{x}{min}\;L(x,\lambda ,\eta )\\ s.t.\; \lambda _{i}\geq 0 \end{matrix}\right.${λ,ηmax​xmin​L(x,λ,η)s.t.λi​≥0​

如果原问题和对偶问题满足强对偶关系，则原问题和对偶问题具有相同的最优解，另外它们还天然地满足KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker条件）。假设原问题最优解$p^{*}$p∗对应$x^{*}$x∗，对偶问题最优解$d^{*}$d∗对应$\lambda ^{*}$λ∗和 $\eta ^{*}$η∗，则KKT条件为：

$\left\{\begin{matrix} 可行条件：\left\{\begin{matrix} m_{i}(x^{*})\leq 0\\ n_{j}(x^{*})=0\\ \lambda ^{*}\geq 0 \end{matrix}\right.\\ 互补松弛：\lambda _{i}m_{i}=0,对\forall i=1,2,\cdots ,M成立\\ 梯度为0：\left.\begin{matrix} \frac{\partial L(x,\lambda ^{*},\eta ^{*})}{\partial x} \end{matrix}\right|_{x=x^{*}}=0 \end{matrix}\right.$⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧​可行条件：⎩⎨⎧​mi​(x∗)≤0nj​(x∗)=0λ∗≥0​互补松弛：λi​mi​=0,对∀i=1,2,⋯,M成立梯度为0：∂x∂L(x,λ∗,η∗)​​∣∣∣​x=x∗​=0​

可以进行以下证明：

$d^{*}=\underset{\lambda ,\eta }{max}\; g(\lambda ,\eta )\\ = g(\lambda ^{*},\eta ^{*})\\ =\underset{x}{min}\; L(x,\lambda ^{*},\eta ^{*})\\ \leq L(x^{*},\lambda ^{*},\eta ^{*})\\ =f(x^{*})+\sum_{i=1}^{M}\lambda _{i}^{*}m_{i}(x^{*})+\underset{=0}{\underbrace{\sum_{j=1}^{N}\eta _{j}^{*}n_{j}(x^{*})}}\\ =f(x^{*})+\underset{\leq 0}{\underbrace{\sum_{i=1}^{M}\lambda _{i}^{*}m_{i}(x^{*})}}\\ \leq f(x^{*})\\ =p^{*}\\ 因为d^{*}=p^{*},所以上式中两个\leq 都必须取等号。\\ 首先\underset{x}{min}\; L(x,\lambda ^{*},\eta ^{*})=L(x^{*},\lambda ^{*},\eta ^{*}),则可以得出：\\ \left.\begin{matrix} \frac{\partial L(x,\lambda ^{*},\eta ^{*})}{\partial x} \end{matrix}\right|_{x=x^{*}}=0\\ 然后f(x^{*})+\sum_{i=1}^{M}\lambda _{i}^{*}m_{i}(x^{*})=f(x^{*})，则可以得出：\\ \sum_{i=1}^{M}\lambda _{i}^{*}m_{i}(x^{*})=0，由于\lambda _{i}^{*}m_{i}(x^{*})\leq 0，要使得\sum_{i=1}^{M}\lambda _{i}^{*}m_{i}(x^{*})=0，则必有\lambda _{i}^{*}m_{i}(x^{*})=0$d∗=λ,ηmax​g(λ,η)=g(λ∗,η∗)=xmin​L(x,λ∗,η∗)≤L(x∗,λ∗,η∗)=f(x∗)+i=1∑M​λi∗​mi​(x∗)+=0j=1∑N​ηj∗​nj​(x∗)​​=f(x∗)+≤0i=1∑M​λi∗​mi​(x∗)​​≤f(x∗)=p∗因为d∗=p∗,所以上式中两个≤都必须取等号。首先xmin​L(x,λ∗,η∗)=L(x∗,λ∗,η∗),则可以得出：∂x∂L(x,λ∗,η∗)​​∣∣∣​x=x∗​=0然后f(x∗)+i=1∑M​λi∗​mi​(x∗)=f(x∗)，则可以得出：i=1∑M​λi∗​mi​(x∗)=0，由于λi∗​mi​(x∗)≤0，要使得i=1∑M​λi∗​mi​(x∗)=0，则必有λi∗​mi​(x∗)=0

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