卷积

直接看图，不信看不懂。以离散信号为例，连续信号同理。

已知

已知

下面通过演示求的过程，揭示卷积的物理意义。

第一步，乘以并平移到位置0：

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从这里，可以看到卷积的重要的物理意义是：一个函数（如：单位响应）在另一个函数（如：输入信号）上的加权叠加。

重复一遍，这就是卷积的意义：加权叠加。

对于线性时不变系统，如果知道该系统的单位响应，那么将单位响应和输入信号求卷积，就相当于把输入信号的各个时间点的单位响应 加权叠加，就直接得到了输出信号。

通俗的说：
在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，就得到了输出信号。
这正是单位响应是如此重要的原因。

在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，就得到了输出信号。
这正是单位响应是如此重要的原因。

《卷积信号与moba游戏的伤害计算》

在打游戏的时候，假设你对敌方英雄造成了一次攻击。攻击的效果是，地方英雄会在接下来5秒内持续增长的掉血。每秒掉血分别为1 2 3 4 5；那么你在0秒的时候攻击了一下敌方英雄，敌方英雄的掉血情况为：

抽象一下。假设x[k]是一个单位信号（一次攻击），即仅当k=0时x(k) = 1.假设把这个信号输入到一个系统里面得到的响应为h[n]：

同样，假设你在第2秒对地方英雄进行了攻击，则敌方英雄会在地2-7秒持续掉血。

由于攻击不是在第0秒，而是在第二秒，因此，产生伤害也是从第二秒开始。使用函数位移的想法了解释，则本来第0秒产生的伤害右移了两个单位，变成了h[n-2]：

那么，如果第0秒和第2秒都进行了攻击，伤害是怎样的呢？当然是第0秒的伤害加上第2秒的伤害，即：

那么，对于任意形式的攻击x[k]，很容易推广到，产生的伤害y[n]计算方法为：

这就是卷积的公式。解释很简单，就是对任意的攻击x[k]，产生的伤害就是，把所有k时刻的攻击产生的伤害h[n-k]都叠加起来了。

那么，如果我想知道，对与任意的攻击方式，敌方英雄某一秒（比如第3秒）受到的伤害是怎样的呢？

即，对于输入x[k]，任意一个y[n]点的伤害是怎样的呢？

我把不同k时候的关于n的函数h[n-k]全部画出来。如上图中不同的纵轴表示。那第三秒敌方英雄收到的伤害y[3]等于x(0) h(3)+ x(1) h(3-1)+ x(2) h(3-2)+ x(3) h(3-3).

注意！！！在上图的表示中，我并未直接计算 ，而是将其表示为不同的函数h[n-k]与不同的[k]的组合！！

------------学术的分割线--------------

也就是说，以离散信号为例，

卷积y[n] = x[n] * h[n]，可以理解为，将y[n]分为不同的 分量为h[n-k]、系数为x[k]的线性组合。也就是说，y[n]是一系列关于h[n]移位后的h[n-k]，每个函数h[n-k]乘上特定的系数x[k] 组合而成的函数。

这种 “用一组函数进行线性组合得到目标函数”的理念，在傅里叶分析中也有应用：将原始信号y[n],分为一系列谐波信号e^（jkwn）的函数的线性组合。

再来看这个图：

你想到了什么？？

上图解释参见：如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧

到这里会发现，卷积和傅里叶分析的一个相同的理念：

用不同的函数的线性组合，表示原信号。

傅里叶分析用的是不同的正弦函数的线性组合；

而卷积，用的是h[n]移位不同的k得到的一系列h[n-k]的线性组合。

换个角度，你会看到更多。