机器学习第四周（一）

1、Non-linear hypotheses，引入课程中的一幅图片

对于图中的数据，只有俩个feature，分类效果尚能令人满意，但当feature数量不断增大时，假设函数中二次项数会剧增，比如feature为100时，此时二次项数为（100*100）/2=5000个
作者后面又举了一个识别汽车的例子，在一幅50*50像素的图片中，特征量能达到2500个，那么二次项就有（2500*2500）/2约3million个
所以对这些拥有大的feature数据，需要引入神经网络来表示假设函数。

2、Model Represent，从一个简单的神经元引入

如图，有三个feature，将feature作为输入，同样加入x0并置1，这里我们称x0为偏置项（bias unit）。输入经过一个神经元，最后得到我们的假设函数，假设函数形式任然采用Sigmoid函数，在这里称Sigmoid函数为**函数（activation function），也称theta为权值（weights）。
同样，当扩展到多个神经元时如下：

这里我们称layer1为输入层（input layer），layer3为输出层（output layer），介于layer1和layer3之间的为隐藏层（hidden layers），这里为layer2.同时，我们称隐藏层的结点为**结点（activation units）。a0项也为1（也称做偏置项（bias unit））.
以一个具体神经网络为例解释计算过程：

项称第j层第i个结点
项称为第j层到第j+1层权值矩阵。并且有S(j)表示第j层的结点数，S(j+1)表示第j+1层结点数。

3、vectorized implementation（向量化表示）
以图中每个**结点和假设函数的的具体计算过程为例。
我们引入变量Z并给出向量化实现：
以第二层为例，k表示结点序号，向量Z为：

因为所以我们得到Z的公式（其中j大于等于1）
所以**结点的向量化表示如下：

进一步化简

同时，也得到假设函数的向量化表示如下：