1.极限——夹逼定理_5
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什么是夹逼定理
数学术语表示夹逼定理
运用夹逼定理
什么是夹逼定理
当趋向
时，
的极限等于1。如下式：
但在证明以上极限之前，在我讲三角学之前，我要复习一下极限的另一个内容，那就是夹逼定理。
因为一旦你们理解了夹逼定理就可以用它来证明这个问题，这是一个复杂的阐述，但我认为你们会发现它很巧妙。
并且在理解之后感到满足感。如果你们不能理解，那么就要记住了，因为这是很有用的极限。
稍后我们求三角函数导数时，你们就会知道了。
什么是夹逼定理呢？
夹逼定理是我最喜欢的一个定理。可能因为它里面有squeeze这个词吧。
当你们在微积分的书中读到它的时候，看起来很复杂，但所讲的东西却是显而易见的。
举个例子，如果我告诉你：
Sal总是吃的比Umama多；
Sal总是吃的比Bill少。
所以在任意给定的某天里，Sal总是会吃的比Umama多且比Bill少。
如果我告诉你们星期二，Umama吃了300卡路里，Bill也吃了300卡路里，那么我要问的是：Sal吃了多少卡路里？
那么，我总是比Umama吃得多，多于或者等于Umama并且我总是比Bill吃得少，所以Sal星期二肯定吃了300卡路里。
这就是夹逼定理的要义。
数学术语表示夹逼定理
接下来我会正式地讲解。
但从本质上来说，如果我总是比某物大，而且总是比另一个小，在某点二者相等。那么无论它们等于几，我也必须等于那个数，
被挤在了它们二者中间。Sal总是在Umama和Bill之间，星期二他们吃的一样多，那我也必须吃那么多，或者至少要接近那么多。
我用数学术语表示一下：
这个定理说的是，在某一域上，若，同时我们还知道，当x趋向a时，
的极限等于
以及
当趋向
时，
的极限也等于
：
那么夹逼定理告诉我们：当x趋向a时，f(x)的极限也一定等于L。
（现在我暂时不先证明，先理解夹逼定理讲什么，这对我们是很有帮助的。）
这和我刚举的例子是一个意思，这里的，可以看成Sal一天吃的，
是Umama一天吃的，
是Bill一天吃的。
那么我总是吃的比Umama多，比Bill少。星期二这天，可以认为是星期二。
如果Umama和Bill都吃了300卡路里，那么我也必须是吃了300卡路里。我画图表示一下：
总是比绿色的函数大，比
小。所以我画的任何
必须要在两个之间。
不论怎么画，如果我要画一个函数，必须受这两个函数的约束来定义，必须穿过这一点或者至少要接近这点，
或许函数在这点无定义，但趋向
时，
的极限必须等于
。
不需要在这点有定义。
那么我们记住：夹逼定理，现在我们要证明 ，我想证明它，是因为它是很有用的一个极限。
另一个原因是，学了夹逼定理后，有时那么可能会想，它在哪里会用到呢？我们将会会看到的。
运用夹逼定理
接下来告诉你如何运用夹逼定理，我们来证明以下极限：
首先我们先来画个图：
这个是单位圆，单位圆意味着什么？是半径为1的圆，所以这里和这里的距离是1。
如果这个角是x弧度，这条线的长度是多少？
由定义，six表示单位圆上任意一点的纵坐标。所以那个色绿线为sinx。
我问个稍难一点的问题：
什么是正切？正切等于对边比领边。tanx是多少呢？（看到最大三角型）
如果说这是直角三角形，那么就是对边长度比邻边长度。我们称这个长度为o，表示边。
但邻边长度是多少呢？在这个三角形是单位圆，所以邻边等于1.（圆的半径）：
我们现在来讨论图中三个三角形的面积，首先我们来看第一个图形：
你可以看橙色虚线的三角形。首先我们选择较小的这个三角形。
那么它的面积是多少呢？
根据三角型面积公式：二分之一底乘以高。底是1。（圆半径），高是多少呢？我们计算出来了，高就是Sinx。
这就是这个橙色虚线的三角型面积。
继续看第二个图形为扇形：
橙色虚线的扇形的面积是多少？
它比我们刚才算的三角型大一点，对吧？因为它包含三角型和圆弧直接的区域。
那么那段弧形区域的面积是多少？
如果这个角度是，
弧度，它占整个单位圆的百分比是多少？
一个单位圆有的弧度，那么这个区域面积是多少呢？
它等于x占整个单位圆弧度的百分比，也就是除以整个单位圆的
弧度。
所以角度表示的话，是比上360°乘以整个圆的面积。这就能告诉我们扇形占圆的比例了。
面积等于，半径是1，也就是
是1。所以整个圆的面积就是
。
所以乘以
，
是1，消掉两个
，等于
，所以这个扇形的面积等于
。
所以我们得出这个小三角形，是小三角形的面积。
这个大一点的扇形的面积是。
现在看第三个图形为最大的三角形，如图：（橙色标注）
这个看起来比较明显，那么直角三角型的面积就是*底*高，底是1（圆半径），高是tanx，所以直角三角型面积等于
。
那么看这个图应该很清楚，这个最小的三角形的面积都小于扇形，而扇形面积小于最大的三角形。
看到这里是不是似曾相识的感觉。
以上的表达式在什么时候成立呢？只要在第一象限就是成立的。
在第四象限也是可以的，但这是sinx是负的，tanx是负的，x也是负的。但如果取绝对值，则第四象限也成立。
因为只要出现负数，取绝对值后，长度仍然有效的。
由于我的目的是求趋向0时的极限，为了极限有定义，必须要从两个方向取极限。
我们求一下两边的绝对值：
首先，把所有数乘以2去掉，得到：
希望绝对值不会迷惑你们。我写的原来的第一象限中的不等式也是有效的。
但由于我想让这个不等式，在第一和第四象限都成立，因为要取两个方向上的极限，所以取了绝对值。
回到我们的问题，上面那个不等式。
我们那个上面那个不等式除以|sinx|，由于|sinx|是个正数，所以这些小于号不变。我们得到如下：
我们现在要取它们的倒数（注意：小于号要换成大于号），我们得到：
现在我来问一个问题：
有没有可能是在第一和第四象限有可能是负的吗？
在第一象限，sinx是正的，x也是正的。所以肯定是正数。
在第四象限，sinx是负的，y是负的，这个角也是负的，所以x也是负的，所以肯定是正数。
同样的逻辑，在第一和第四象限，那是我们讨论的区域，我们考虑的是：的区间，所以在第一和第四象限，
会是负的吗？
求余弦的是x，由定义x第一象限和第四象限，x总是正的，如果x一直是正的就可以去掉绝对值符号。
所以这里的绝对值符号有点多余，我们先去掉：
现在，我们可以用夹逼定理了。
当趋向于0时，函数1的极限是多少？
函数1总是等于1，所以可以知道趋近于无穷。
当趋向于
时，它的极限总是会等于1。
所以当趋向0，这个等于1。
那么当x趋近于0时，cosx的极限是什么呢？
这同样很简单，当趋近0，cos0等于1，如你们知道的。
它是个连续函数，所以极限是1。
我们已经准备好运用夹逼定理了。
当趋近于0时，这个函数
趋近于1，而这个函数在这二者之间，如果它处于两者之间，当x趋近于0时，这项趋近于1。
当趋近于0时，
也趋近于1，这个在它们之间，所以它也必须在
趋近0时，函数趋向1。
我们是基于这个运用了夹逼定理，你们可以说，因此根据夹逼定理，因为不等式成立，所以当x趋近于0时，的极限是1，
希望下面的图能给你们直观的认识。
另一种思考方法，随着红色条线越来越短，当短到长度接近0时，x也接近0。
浅蓝色线的下面区域在慢慢收敛，所以中间那片区域必须向它们两个收敛。
我们说过在-π/2 到 π/2区间，1比大，
比
大，当然
时，这个无定义，但我们可以计算出极限。
图上的蓝色线是函数1，也就是y=1。这条浅蓝色线是cosx，红色线是。
你们可以看到，在-π/2到π/2上，或者说第四和第一象限，这条红色线总是在中间，
这就是对夹逼定理一个直观上的说明，我们知道，当趋近于0时，这条浅蓝线是1，还知道，当
趋近0时，这条深蓝线也是1。
这条红色的线总是在中间，所以也趋向1，那么现在你们知道了，这个证明用到了夹逼定理以及三角学的一些知识，
证明了为什么x趋向于0时，的极限等于1。
——请不断重复练习、练习、练习、再练习。。。