算法导论-矩阵乘法-strassen算法
目录
1、矩阵相乘的朴素算法
2、矩阵相乘的strassen算法
3、完整测试代码c++
4、性能分析
5、参考资料
内容
1、矩阵相乘的朴素算法 T(n) = Θ(n3)
朴素矩阵相乘算法，思想明了，编程实现简单。时间复杂度是Θ(n^3)。伪码如下
1 for i ← 1 to n 2 do for j ← 1 to n 3 do c[i][j] ← 0 4 for k ← 1 to n 5 do c[i][j] ← c[i][j] + a[i][k]⋅ b[k][j]
2、矩阵相乘的strassen算法 T(n)=Θ(nlog7) =Θ (n2.81)
矩阵乘法中采用分治法，第一感觉上应该能够有效的提高算法的效率。如下图所示分治法方案，以及对该算法的效率分析。有图可知，算法效率是Θ(n^3)。算法效率并没有提高。下面介绍下矩阵分治法思想：
鉴于上面的分治法方案无法有效提高算法的效率，要想提高算法效率，由主定理方法可知必须想办法将2中递归式中的系数8减少。Strassen提出了一种将系数减少到7的分治法方案，如下图所示。
效率分析如下：
伪码如下：
1 Strassen (N,MatrixA,MatrixB,MatrixResult) 2 3 //splitting input Matrixes, into 4 submatrices each. 4 for i <- 0 to N/2 5 for j <- 0 to N/2 6 A11[i][j] <- MatrixA[i][j]; //a矩阵块 7 A12[i][j] <- MatrixA[i][j + N / 2]; //b矩阵块 8 A21[i][j] <- MatrixA[i + N / 2][j]; //c矩阵块 9 A22[i][j] <- MatrixA[i + N / 2][j + N / 2];//d矩阵块 10 11 B11[i][j] <- MatrixB[i][j]; //e 矩阵块 12 B12[i][j] <- MatrixB[i][j + N / 2]; //f 矩阵块 13 B21[i][j] <- MatrixB[i + N / 2][j]; //g 矩阵块 14 B22[i][j] <- MatrixB[i + N / 2][j + N / 2]; //h矩阵块 15 //here we calculate M1..M7 matrices . 17 //递归求M1 18 HalfSize <- N/2 19 AResult <- A11+A22 20 BResult <- B11+B22 21 Strassen( HalfSize, AResult, BResult, M1 ); //M1=(A11+A22)*(B11+B22) p5=(a+d)*(e+h) 22 //递归求M2 23 AResult <- A21+A22 24 Strassen(HalfSize, AResult, B11, M2); //M2=(A21+A22)B11 p3=(c+d)*e 25 //递归求M3 26 BResult <- B12 - B22 27 Strassen(HalfSize, A11, BResult, M3); //M3=A11(B12-B22) p1=a*(f-h) 28 //递归求M4 29 BResult <- B21 - B11 30 Strassen(HalfSize, A22, BResult, M4); //M4=A22(B21-B11) p4=d*(g-e) 31 //递归求M5 32 AResult <- A11+A12 33 Strassen(HalfSize, AResult, B22, M5); //M5=(A11+A12)B22 p2=(a+b)*h 34 //递归求M6 35 AResult <- A21-A11 36 BResult <- B11+B12 37 Strassen( HalfSize, AResult, BResult, M6); //M6=(A21-A11)(B11+B12) p7=(c-a)(e+f) 38 //递归求M7 39 AResult <- A12-A22 40 BResult <- B21+B22 41 Strassen(HalfSize, AResult, BResult, M7); //M7=(A12-A22)(B21+B22) p6=(b-d)*(g+h) 42 43 //计算结果子矩阵 44 C11 <- M1 + M4 - M5 + M7; 45 46 C12 <- M3 + M5; 47 48 C21 <- M2 + M4; 49 50 C22 <- M1 + M3 - M2 + M6; 51 //at this point , we have calculated the c11..c22 matrices, and now we are going to 52 //put them together and make a unit matrix which would describe our resulting Matrix. 53 for i <- 0 to N/2 54 for j <- 0 to N/2 55 MatrixResult[i][j] <- C11[i][j]; 56 MatrixResult[i][j + N / 2] <- C12[i][j]; 57 MatrixResult[i + N / 2][j] <- C21[i][j]; 58 MatrixResult[i + N / 2][j + N / 2] <- C22[i][j];
3、完成测试代码
Strassen.h
Strassen.cpp
1 #include <iostream> 2 #include <ctime> 3 #include <Windows.h> 4 using namespace std; 5 #include "Strassen.h" 6 7 int main() 8 { 9 Strassen_class<int> stra;//定义Strassen_class类对象 10 int MatrixSize = 0; 11 12 int** MatrixA; //存放矩阵A 13 int** MatrixB; //存放矩阵B 14 int** MatrixC; //存放结果矩阵 15 16 clock_t startTime_For_Normal_Multipilication ; 17 clock_t endTime_For_Normal_Multipilication ; 18 19 clock_t startTime_For_Strassen ; 20 clock_t endTime_For_Strassen ; 21 srand(time(0)); 22 23 cout<<"\n请输入矩阵大小(必须是2的幂指数值(例如:32,64,512,..): "; 24 cin>>MatrixSize; 25 26 int N = MatrixSize;//for readiblity. 27 28 //申请内存 29 MatrixA = new int *[MatrixSize]; 30 MatrixB = new int *[MatrixSize]; 31 MatrixC = new int *[MatrixSize]; 32 33 for (int i = 0; i < MatrixSize; i++) 34 { 35 MatrixA[i] = new int [MatrixSize]; 36 MatrixB[i] = new int [MatrixSize]; 37 MatrixC[i] = new int [MatrixSize]; 38 } 39 40 stra.FillMatrix(MatrixA,MatrixB,MatrixSize); //矩阵赋值 41 42 //*******************conventional multiplication test 43 cout<<"朴素矩阵算法开始时钟: "<< (startTime_For_Normal_Multipilication = clock()); 44 45 stra.MUL(MatrixA,MatrixB,MatrixC,MatrixSize);//朴素矩阵相乘算法 T(n) = O(n^3) 46 47 cout<<"\n朴素矩阵算法结束时钟: "<< (endTime_For_Normal_Multipilication = clock()); 48 49 cout<<"\n矩阵运算结果... \n"; 50 stra.PrintMatrix(MatrixC,MatrixSize); 51 52 //*******************Strassen multiplication test 53 cout<<"\nStrassen算法开始时钟: "<< (startTime_For_Strassen = clock()); 54 55 stra.Strassen( N, MatrixA, MatrixB, MatrixC ); //strassen矩阵相乘算法 56 57 cout<<"\nStrassen算法结束时钟: "<<(endTime_For_Strassen = clock()); 58 59 60 cout<<"\n矩阵运算结果... \n"; 61 stra.PrintMatrix(MatrixC,MatrixSize); 62 63 cout<<"矩阵大小 "<<MatrixSize; 64 cout<<"\n朴素矩阵算法: "<<(endTime_For_Normal_Multipilication - startTime_For_Normal_Multipilication)<<" Clocks.."<<(endTime_For_Normal_Multipilication - startTime_For_Normal_Multipilication)/CLOCKS_PER_SEC<<" Sec"; 65 cout<<"\nStrassen算法:"<<(endTime_For_Strassen - startTime_For_Strassen)<<" Clocks.."<<(endTime_For_Strassen - startTime_For_Strassen)/CLOCKS_PER_SEC<<" Sec\n"; 66 system("Pause"); 67 return 0; 68 69 }
输出：
4、性能分析
| 矩阵大小 | 朴素矩阵算法（秒） | Strassen算法（秒） |
| 32 | 0.003 | 0.003 |
| 64 | 0.004 | 0.004 |
| 128 | 0.021 | 0.071 |
| 256 | 0.09 | 0.854 |
| 512 | 0.782 | 6.408 |
| 1024 | 8.908 | 52.391 |
可以发现：可以看到使用Strassen算法时，耗时不但没有减少，反而剧烈增多，在n=512时计算时间就无法忍受，效果没有朴素矩阵算法好。网上查阅资料，现罗列如下：
1）采用Strassen算法作递归运算，需要创建大量的动态二维数组，其中分配堆内存空间将占用大量计算时间，从而掩盖了Strassen算法的优势
2）于是对Strassen算法做出改进，设定一个界限。当n<界限时，使用普通法计算矩阵，而不继续分治递归。需要合理设置界限，不同环境（硬件配置）下界限不同
3）矩阵乘法一般意义上还是选择的是朴素的方法，只有当矩阵变稠密，而且矩阵的阶数很大时，才会考虑使用Strassen算法。
分析原因：（网上总结的说法）
http://blog.****.net/handawnc/article/details/7987107
仔细研究后发现，采用Strassen算法作递归运算，需要创建大量的动态二维数组，其中分配堆内存空间将占用大量计算时间，从而掩盖了Strassen算法的优势。于是对Strassen算法做出改进，设定一个界限。当n<界限时，使用普通法计算矩阵，而不继续分治递归。
改进后算法优势明显，就算时间大幅下降。之后，针对不同大小的界限进行试验。在初步试验中发现，当数据规模小于1000时，下界S法的差别不大，规模大于1000以后，n取值越大，消耗时间下降。最优的界限值在32～128之间。
因为计算机每次运算时的系统环境不同（CPU占用、内存占用等），所以计算出的时间会有一定浮动。虽然这样，试验结果已经能得出结论Strassen算法比常规法优势明显。使用下界法改进后，在分治效率和动态分配内存间取舍，针对不同的数据规模稍加试验可以得到一个最优的界限。
http://www.cppblog.com/sosi/archive/2010/08/30/125259.html
时间复杂度就马上降下来了。。但是不要过于乐观。
从实用的观点看，Strassen算法通常不是矩阵乘法所选择的方法：
1 在Strassen算法的运行时间中，隐含的常数因子比简单的O(n^3)方法常数因子大
2 当矩阵是稀疏的时候，为稀疏矩阵设计的算法更快
3 Strassen算法不像简单方法那样子具有数值稳定性
4 在递归层次中生成的子矩阵要消耗空间。
所以矩阵乘法一般意义上还是选择的是朴素的方法，只有当矩阵变稠密，而且矩阵的阶数>20左右，才会考虑使用Strassen算法。
5、参考资料
【1】http://blog.****.net/xyd0512/article/details/8220506
【2】http://blog.****.net/zhuangxiaobin/article/details/36476769
【3】http://blog.****.net/handawnc/article/details/7987107
【4】http://www.xuebuyuan.com/552410.html
【5】http://blog.****.net/chenhq1991/article/details/7599824