【矩阵论】5.2-广义特征值问题

前言：什么是广义特征值问题？

【广义特征值问题】设$A=(a_{ij})\in \mathbb{R}^{n\times n}$A=(aij​)∈Rn×n是$n$n阶实对称矩阵，$B=(b_{ij})\in \mathbb{R}^{n\times n}$B=(bij​)∈Rn×n是$n$n阶实对称正定矩阵，使下式 $\mathbf{Ax=\lambda Bx}$Ax=λBx 有非零解向量$x\in \mathbb{R}^{n}$x∈Rn，则称$\lambda$λ是矩阵$A$A相对于矩阵$B$B的特征值，且$x$x是属于$\lambda$λ的特征向量。该问题常见于振动理论。

我们可以发现

• 当$B\not=I$B​=I时，该问题是广义特征值问题
• 当$B=I$B=I时，该问题是普通特征值问题

思路：如何求解广义特征值问题？

在想办法求解广义特征值问题前，我们需要先知道我们会做什么问题？首先，我们会做形如$Ax=\lambda x$Ax=λx的普通特征值问题，如使用特征方程$\det(\lambda I-A)=0$det(λI−A)=0求解特征值，使用$(A-\lambda I)x=0$(A−λI)x=0通过求其零空间得到特征向量$x$x，对于实对称矩阵$A$A，我们还能得到任意特征值$\lambda_i\ge 0$λi​≥0的特性，以及通过瑞利商理论得到当$x^Hx=I$xHx=I时有$\lambda=x^HAx$λ=xHAx。

因此，面对一个和普通特征值相关的新问题，我们可以尝试将不会做的问题转化为会做的问题。因此我们常将广义特征值问题转化为普通特征值问题，然后再利用普通特征值已成熟的求解方法，从而得到广义特征值问题的解向量。

本文就广义特征值问题做以梳理，完整定理证明请参考西工大的《矩阵论》[1]。

一、广义特征值问题的等价形式

第1种等价形式

我们将等式两端分别左乘$B^{-1}$B−1得到如下式子，可见虽然$B^{-1},A$B−1,A都是对称矩阵，但$B^{-1}A$B−1A一般不再是对称矩阵

$B^{-1}Ax=\lambda x$B−1Ax=λx

第2种等价形式

我们将矩阵$B$B进行$\text{Cholesky}$Cholesky分解(平方根分解)得到下式 (其中$G$G是下三角矩阵)
$B=GG^T$B=GGT
因此有
$\begin{aligned} &Ax=\lambda GG^Tx\\ \Rightarrow & G^{-1}Ax =\lambda G^Tx \\ \Rightarrow & G^{-1}A[(G^T)^{-1}G^T]x =\lambda G^Tx \\ \Rightarrow & [G^{-1}A(G^{-1})^T](G^Tx) =\lambda (G^Tx) \\ \end{aligned}$⇒⇒⇒​Ax=λGGTxG−1Ax=λGTxG−1A[(GT)−1GT]x=λGTx[G−1A(G−1)T](GTx)=λ(GTx)​
我们令
$\begin{cases} S=G^{-1}A(G^{-1})^T \\ y=G^Tx \end{cases}${S=G−1A(G−1)Ty=GTx​
其中$S$S是实对称矩阵，我们将$A$A的广义特征值问题转化为如下矩阵$S$S的普通特征值问题
$Sy=\lambda y$Sy=λy

二、特征向量的正交性(共轭性)

由于第2个等价形式的矩阵$S$S是实对称矩阵，因此其特征值均是实数，且存在完备的标准正交特征向量系满足
$y_i^Ty_j = \begin{cases} 0,\; i\not= j \\ 1,\; i= j \end{cases}$yiT​yj​={0,i​=j1,i=j​
由于
$y_i^Ty_j =(G^Tx_i)^TG^Tx_i=x_i^TGG^Tx_i=x_i^TBx_i$yiT​yj​=(GTxi​)TGTxi​=xiT​GGTxi​=xiT​Bxi​
因此，有$x=(x_1,...,x_n)^T$x=(x1​,...,xn​)T满足下式，其中$x$x称为按$B$B标准正交化向量系，下式称为$B$B正交条件
$x_i^TBx_i = \begin{cases} 0,\; i\not= j \\ 1,\; i= j \end{cases}$xiT​Bxi​={0,i​=j1,i=j​
所以，按$B$B标准正交化向量系$x$x具有如下重要性质

• $x_i\not= 0 \; (i=1,2,...,n)$xi​​=0(i=1,2,...,n)
• $x_1,x_2,...,x_n$x1​,x2​,...,xn​线性无关

参考文献

程云鹏, 凯院, 仲. 矩阵论[M]. 西北工业大学出版社, 2006.