一元线性回归模型

$假设x是自变量，y是因变量，且满足如下线性关系\\y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\mu_i\\\beta_0和\beta_1为回归系数，\mu_i为无法观测地且满足一定条件地扰动项\\令预测值\hat{y_i}=\hat{\beta_0}+\hat{\beta_i}x_i\\其中\hat{\beta_0},\hat{\beta_1}=\argmin(\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y_i})^2)=\argmin(\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{\beta_0}-\hat{\beta_i}x_i)^2)\\\hat{\beta_0},\hat{\beta_1}=\argmin(\sum_{i=1}^n(\hat{mu_i})^2)\\我们称\hat{\mu_i}=y_i-\hat{\beta_0}-\hat{\beta_i}xi为残差$假设x是自变量，y是因变量，且满足如下线性关系yi​=β0​+β1​xi​+μi​β0​和β1​为回归系数，μi​为无法观测地且满足一定条件地扰动项令预测值yi​^​=β0​^​+βi​^​xi​其中β0​^​,β1​^​=argmin(i=1∑n​(yi​−yi​^​)2)=argmin(i=1∑n​(yi​−β0​^​−βi​^​xi​)2)β0​^​,β1​^​=argmin(i=1∑n​(mui​^​)2)我们称μi​^​=yi​−β0​^​−βi​^​xi为残差

对于线性地理解

$假设x是自变量，y是因变量，且满足如下线性关系:\\y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\mu_i$假设x是自变量，y是因变量，且满足如下线性关系:yi​=β0​+β1​xi​+μi​

$线性假定并不要求初始模型都呈上述地严格线性关系,\\自变量与因变量可以通过变量变换儿转化称线性模型$线性假定并不要求初始模型都呈上述地严格线性关系,自变量与因变量可以通过变量变换儿转化称线性模型

回归系数地解释

从图中可以看出，由于多加入了一个变量$x_2$x2​导致$x_1$x1​前面的系数变化很大，而这是由内生性导致的。

内生性

$假设我们的模型为：Y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_kx_k+\mu\\ \mu为无法观测满足的且满足一定条件的扰动项\\如果满足误差项\\mu和所有的自变量x均不相关，测称该回归模型具有外生性\\（如果相关，则存在内生性，内生性会导致回归系数估计不准确，不满足无偏和一致性）$假设我们的模型为：Y=β0​+β1​x1​+β2​x2​+⋯+βk​xk​+μμ为无法观测满足的且满足一定条件的扰动项如果满足误差项mu和所有的自变量x均不相关，测称该回归模型具有外生性（如果相关，则存在内生性，内生性会导致回归系数估计不准确，不满足无偏和一致性）

$回到刚才的例子中:误差项\mu_i包含了什么$回到刚才的例子中:误差项μi​包含了什么

包含了多有与$y$y相关，但未添加到回归模型中的变量,而如果这些变量和我们已经添加的自变量相关，则存在内生性

核心解释变量和控制变量

 因为五内生性要求所有的解释变量均与扰动项不相关。而这个假定通常太强了，因为解释变量一般很多，且需要保证它们全部外生。
 而我们可以通过将解释变量分为核心解释变量与控制变量两类
 核心解释变量：我们最感兴趣的变量，因此我们特别希望的到对其系数一致估计（当样本容量无限增大时，收敛于待估计参数的真值）。
 控制变量：我们可能对于这些变量并无太大的兴趣；而之所以把它们也放入回归方程，主要是为了“控制住”那些对被解释变量有影响的遗漏因素。
 在实际应用中，我们只要保证核心解释变量与u不相关即可