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题目

令 U₁,U₂和U,₃是[0,1]上的独立的均匀随机变量，求U₁x²+U₂x+U₃的二次方根是实数的概率？

解题思路

根据平方二元一次方程根的判别式b²-4ac>0表示有实数根。令z=U₂,x=U₁,y=U₃,所以当z²>4xy时为实数解。z,x,y都是在[0,1]区间的均匀分布，其中满足z²>4xy条件的为实数解。现在问题就转化为求密度函数的积分问题。

积分公式： $\iiint_\Omega f(x,y,z)dzdydx$ Ω范围z²>=4xy

z,x,y是独立的均匀分布，即 f(x)=f(y)=f(z)=1 所以f(x,y,z)=f(x)*f(y)*f(z) = 1，原积分公式变成 $\iiint_\Omega 1dzdydx$

##公式已经明确，有两种计算方法：

第一种计算方法：直接积分

首先确定z积分区间,z₂<=1 所以z的上限是1; z₂>4xy 所以下限是 $\sqrt{4xy}$
对x,y的积分区间就有些麻烦了。想象一下三维图形应该是什么样子的，如下：在这里插入图片描述
数理统计与数据分析第三版习题第3章第11题

前三张图是积分区域的三维显示，最后一张图是 xoy平面。
由最后一张图可见，x轴在[0,0.25]范围内y的取值区间是[0,1]；x轴在[0.25,1]区间[0,1/4x]
具体的积分过程如下图：