MathBase 工程数学基础（第六讲-第十一讲）

• Author：Dargon
• Note date：2020/10/19
• 学习视频来源：国防科技大学 MOOC

第六讲，内积空间

• 度量矩阵
  将大G矩阵中的各元素用对应序号的内机空间来进行表示，且定义说明 G 是正定矩阵 成为度量矩阵（暂时没有发现那里可以用到）

• 向量的正交 和施密特（schmidit）正交化
  两向量内积 为0 ，进行单位正交化 可以使用固定的公式
  单位化 就是一个向量除于自己的模长
  正交化 两向量相乘为0 （带入公式进行计算）

• 求标准正交基
  就是将现有的基进行 单位化 正交化 结果就是一组标准正交基

第七讲，正交变换与对称变换

• 正交变换
  看一下定义：
  设T 是欧式空间 V n V^n Vn上的线性变换，若对任意的 α , β ⊂ V n \alpha,\beta \subset V^n α,β⊂Vn 存在
  < T α , T β > = < α , β > <T \alpha, T \beta > =<\alpha,\beta> <Tα,Tβ>=<α,β>
  则T为V^n上的正交变换

一道例题 基本实现 找一个基使得T在这组新的基下面为对角阵

1. 任意找一组基，算出T在基下的一个矩阵
2. 求矩阵特征值，特征向量，将特征向量组成P ，就可以利用P将这个矩阵对角化（代数的基本知识），同时P 也就是这组基向新基的一个过渡矩阵
3. 用原来的基（E1，E2，E3）分别乘以 P里面的列向量X1，X2，X3可以得到一组新的基，
4. T在这组新的基下面的坐标就是可对角化的矩阵。
   
   

• 旋转变换
  一个关于图像旋转的粗糙算法
  

• 镜像变换（Householder变换）
  一个向量关于一个平面（或者其他的线或者更多维度的）镜像
  可以得到一个变换矩阵 H ( ω ) = I − 2 ω ω T \color{blue}H(\omega) =I -2\omega \omega^T H(ω)=I−2ωωT

第八讲，矩阵的相似对角化

• 相似对角化
  和以前的知识点没有变化

• 特征子空间
  出现几何重数和代数重数
  直观上的理解 代数重数 是特征值的几次根例如 ( λ − 1 ) 3 (\lambda -1)^3 (λ−1)3 代数重数就是3
  几何重数 是上面特征值 1所对应的特征向量有几个是独立的 （线性无关的）若是2 则几何重数就是 2
  这样一来就说明 几何重数 <= 代数重数的
  几何重数代表的都是真的向量 代数重数里面包含有假（可以被别人表示的）的向量
  几何重数为基础解析的个数 = （n -r） 可以在空间中有多少个维度（方向）可以扩散

• 求解矩阵的相似对角化
  和前面知识一样，求特征值、求特征向量、组成矩阵P、然后 P − 1 A P = Λ P^{-1}AP =\Lambda P−1AP=Λ

第九讲，Jordan标准型

• jordan标准型出现的原因；
  由于在上一章节 求相似对角化的时候，有重根的特征值没有那么多对应的特征向量，就构造不成矩阵 P，也就不能相似对角化成 对角阵的形式，
  于是就出现了Jordan标准型的形式，类似于P的功能。
  P − 1 A P = Λ → P − 1 A P = J P^{-1}AP =\Lambda \to P^{-1}AP =J P−1AP=Λ→P−1AP=J

• 行列式因子、不变因子与初等因子及其之间关系
  先写出矩阵的特征方程 A ( λ ) = λ I − A A(\lambda) =\lambda I - A A(λ)=λI−A

  1. 行列式因子：所有非0 K阶子式的最大公因式，找出来就是对应的 D 1 ( λ ) 、 D 2 ( λ ) 、 D 3 ( λ ) … … D_1(\lambda)、D_2(\lambda)、D_3(\lambda)…… D1​(λ)、D2​(λ)、D3​(λ)……
  2. 不变因子 ： d 1 ( λ ) = D 1 ( λ ) , d 2 ( λ ) = D 2 ( λ ) D 1 ( λ ) , d 3 ( λ ) = D 3 ( λ ) D 2 ( λ ) d_1(\lambda) =D_1(\lambda), d_2(\lambda) =\frac{D_2(\lambda)} {D_1(\lambda)}, d_3(\lambda) =\frac{D_3(\lambda)} {D_2(\lambda)} d1​(λ)=D1​(λ),d2​(λ)=D1​(λ)D2​(λ)​,d3​(λ)=D2​(λ)D3​(λ)​
  3. 初等因子 ：不变因子的作用是分解得到的，单独的重复 也算作是不变因子。

• Jordan标准型的求解

  1. 求出A的所有初等因子
  2. 对每个初等因子写出对应的Jordan块矩阵
  3. 将Jordan块写成矩阵的形式，就组合成Jordan标准型

写出初等因子之后，将其按顺序写成Jordan块的形式，在将其组合成Jordan 标准型
到此结束！

第十讲，过

第十一讲，矩阵范数

• 向量范数
  目的：

  1. 在平面中，可以轻松的定义长度，但是当你到了线性空间的时候，定义不了空间的长度
  2. 引入范数的概念，来定义空间（赋线性空间）中的距离，长度概念，但是你定义不了夹角
  3. 引入内积空间（欧式空间），可以定义两向量的夹角
     线性空间 > 赋线性空间 >内积空间
     注：赋线性空间是定义范数的线性空间

• 1、2、无穷范数
  若全部都等于1 的话
  1 范数就相当于 |x1| + |x2| =1 四条直线组成的菱形
  2 范数就相当于 x 1 2 + x 2 2 = 1 \sqrt{x1^2 + x2^2} =1 x12+x22 ​=1 单位圆
  无穷范数 就相当于 X中的最大数为1 是一个正方形，边长为2的（-1，-1）（1，1）

• 矩阵范数

  1. 对任意的 A ⊂ C n x n A \subset C^{nxn} A⊂Cnxn,定义
     ∣ ∣ A ∣ ∣ F = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ 2 = T r ( A H A ) ||A||_F =\sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|^2 } =\sqrt{Tr(A^H A)} ∣∣A∣∣F​=i=1∑n​j=1∑n​∣aij​∣2 ​=Tr(AHA) ​
     F 范数相当于对矩阵中每个元素的模进行平方，求和，开方
     相当于矩阵的转置 X 矩阵 所得到的trace 恰好是各元素的平方和，再进行开方
  2. M范数就是进行单纯的各个元素的模进行相加，取最大

• 诱导范数
  出现目的：由于矩阵范数不好定义，利用诱导范数可以很好的进行定义
  例如常用的诱导范数：
  由1-范数、2-范数、无穷范数诱导出的对应的矩阵算子范数，分别称为矩阵的1-范数、2-范数、无穷范数

• 矩阵范数

  1. 矩阵1-范数 ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 ||A||_1 ∣∣A∣∣1​ 将矩阵A的每一列相加，取最大值
  2. 矩阵无穷-范数 ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ ||A||_\infty ∣∣A∣∣∞​ 将矩阵A的每一行相加，取最大值
  3. 矩阵2-范数 ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 ||A||_2 ∣∣A∣∣2​ = λ \sqrt{\lambda} λ ​ λ \lambda λ是 A H A A^H A AHA的最大特征值，再利用最大特征值进行开方

• 谱与谱半径
  用来描述矩阵的大小，
  就是在一堆的特征值中，以原点为圆心，以离原点最远的那个特征值为半径，进行划圆，半径就是谱半径，将所有的特征值都包含在里面。
  若A是Hermite矩阵时，则有A的2-范数 = 谱半径，通常是要大于它的