Variational Auto-Encoder （VAE）论文阅读与公式推导
1.问题描述
给定一个数据集，假设其满足样本间独立同分布。本质上，我们希望得到关于该数据集的真实的概率分布p(x)，虽然有一些方法能够直接估计p(x)中某一点的概率（例如核密度估计、近邻方法），但这些方法一方面准确性较差，并且随着样本维度的升高，对样本数量的需求也是指数增加的。简单来说，我们多数情况下无法知道p(x)。
那么换一个思路，假设每个样本是由一组潜在的因素决定，这些因素我们很难明确他们的含义，但他们确确实实地决定这些样本的分布，令这些隐变量为z。需要说明的是，有些时候，隐变量是一个确定的值，但在贝叶斯理论下，这些隐变量是一组随机变量，他们也存在着各自对应的概率分布。
通过上边的描述，我们可知，隐变量z决定这随机变量x的概率分布，其概率图模型如下：
当我们只关注上图中的z，x和他们之间的实线箭头，可知：
上式中，p(z)表示隐变量z的概率分布，可知，对任意一个x的概率，都需要遍历所有z的取值，这一复杂度随z的维度指数上升，并且，我们也不知道z的真实分布是什么样子的。
这里，就可以利用贝叶斯的方法对z的分布进行估计，即VAE首先令z的先验分布p(z)为标准高斯分布，之后，基于观测到的X，计算其后验分布p(z|x)来估计z的真实分布。而对后验分布的估计，也正是VAE的核心。注：原文中通过最大化p(X)对数似然，推导得出等价于优化变分下界，角度不同，本质一样。
2.问题建模
为了估计，VAE假设存在一个分布
，令q不断近似p，即最小化
,从而将一个估计问题转化为一个优化问题，这一过程本质上是一个变分推断的过程，所以VAE不叫AE。接下来，具体来看如何优化
.
基于上述推导，将p(z)=N(0,I)带入上式，并变换一下可得：
3.求解优化目标1——
首先，需要明确VAE中直接认为服从各分量相互独立的多元高斯分布，所以
上述积分可拆成三个积分，其中，第一项是概率密度乘一个和x无关的常数，即对概率密度积分，结果为1，
第二项是正态分布的二阶矩，
第三项
-
其中J为因变量z的维数综上所述，
4.求解优化目标2——
而另一项，也就是，理论上来说，对它的计算也是要计算如下积分的
但通过一种叫重参数的技巧（reparameterization trick），可以构造一个简单的式子作为的近似值。
这样一来，得到了如下形式
- Bernouli分布建模x
将x看做一组服从Bernouli分布的随机变量，pθx|z输出的是一组Bernouli分布的参数，假设为y，对于x中的某个分量xi
，存在着y中的一个分量yi
与之对应。可知，
同一表达在一个式子中，就是
所以，有
其中，D为数据的分量个数。
- Gaussian分布建模x
将x看做一组服从Gaussian分布的随机变量，输出的是多元高斯分布的均值与方差，假设分别为μ和σ，则
5.一些实现细节
按照论文中的模型，模型均为包含一个隐层的神经网络，其中模型
以x为输入，输出一组μ和
，这里之所以输出
而不是
，是因为
是非负的，这就需要对网络加一些限制，为了方便，改为
，从而正负都可以变换为方差。
参考：
https://www.zhihu.com/question/41765860
https://blog.****.net/u012356619/article/details/102588314
https://github.com/wiseodd/generative-models/tree/master/VAE/vanilla_vae