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算法思想
算法描述
算法具体实现

Dijkstra（迪杰斯特拉）算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止（BFS、prime算法都有类似思想）。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

执行动画过程如下图

最短路径之Dijkstra算法

1、算法思想

令G = （V，E）为一个带权有向网，把图中的顶点集合V分成两组：已求出最短路径的顶点集合S（初始时S中只有源节点，以后每求得一条最短路径，就将它对应的顶点加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中）；未确定最短路径的顶点集合V-S。在加入过程中，总保持从源节点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源节点v到V-S中任何顶点的最短路径长度。

2、算法描述

（1）S为已经找到的从v出发的最短路径的终点集合，它的初始状态为空集，那么从v出发到图中其余各顶点（终点）vi（vi∈V-S）可能达到的最短路径长度的初值为：

d[i] = arcs[LocateVex(G, v)][i]，vi∈V

（2）选择vj，使得 d[j] = Min{d[i]|vi属于V-S}，vj就是当前求得的一条从v出发的最短路径的终点。令S=S∪{j}；

（3）修改从v出发到集合V-S上任一顶点vk可达的最短路径长度。如果 d[j] + arcs[j][k] < d[k]，则修改d[k]为：d[k] = d[j] + arcs[j][k]；

（4）重复（2），知道所有顶点都包含在S中，此时得到v到图上其余各顶点的最短路径是依路径长度递增的序列。

具体图例与算法执行步骤：（从A开始，到各节点的最短路径）

最短路径之Dijkstra算法

具体执行步骤如下图所示：

最短路径之Dijkstra算法

PS：图片右下角是原作者的博客地址。

3、算法具体实现

[cpp]view
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typedef int PathMatrix;            //用于存储最短路径序列的顶点下标数组  

typedef EdgeType ShortPathTable;  //用于存储到各点最短路径的权值和  

[cpp]view
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/* Dijkstra算法求有向网g的下标为v0的顶点到其余顶点下标为v的最短路径P[v]及带权长度D[v] */   

/* P[v]的值为前驱顶点下标,D[v]表示v0到v的最短路径长度和 */   

void ShortestPath_DIJ(Graph *g, int v0, PathMatrix p[], ShortPathTable d[])  

{  

    int i, v, w, k;  

    EdgeType min;  

    bool final[MAX_VEX];    /* final[w]=1表示求得顶点V0至Vw的最短路径 */  

    //初始化数据  

    for (v = 0; v < g->vexNum; v++)  

    {  

        final[v] = false;      //全部顶点初始化为未知最短路径状态  

        d[v] = g->arc[v0][v];  //将与v0点有连线的顶点加上权值  

        p[v] = v0;             //初始化路径数组P为v0  

    }  

    d[v0] = 0;                //v0至v0的路径为0  

    final[v0] = true;         //v0∈S, v0至v0不需要求路径  

    //开始主循环，每次求得v0到某个v顶点的最短路径,并 加入v到集合S  

    for (i = 0; i < g->vexNum; i++)  

    {  

        if (i == v0) continue;  

        min = INFINITY;  

        for (w = 0; w < g->vexNum; w++)    //寻找V-S中离v0最近的顶点  

        {  

            if (!final[w] && d[w] < min)  

            {  

                min = d[w];    //下标为w的顶点离v0更近  

                v = w;  

            }  

        }  

                //if (v == t) break;    //如果只查找到下标为t的某个顶点  

        final[v] = true;    //下标为k的顶点并入集合S,即将当前找到了最短路径的顶点标记为true  

        //更新当前最短路径及距离  

        for (w = 0; w < g->vexNum; w++)  

        {  

            //如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话  

            if (!final[w] && (min + g->arc[v][w] < d[w]))  

            {  

                //说明找到了更短的路径，修改D[w]和P[w]  

                d[w] = min + g->arc[v][w];  

                p[w] = v;  

            }  

        }  

    }  

}

下面是根据路径数组PathMatrix得到具体的路径序列：

[cpp]view
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// 查找从源点v到终点u的路径,并输出  

void SearchPath(VertexType vex[], PathMatrix *prev,int v, int u)  

{  

    int que[MAX_VEX];  

    int tot = 0;  

    que[tot++] = u;  //终点u  

    int tmp = prev[u];   //到顶点下标u的路径上的上一个顶点下标  

    while(tmp != v)  

    {  

        que[tot++] = tmp;  

        tmp = prev[tmp];   //到顶点下标tmp的路径上的上一个顶点下标  

    }  

    que[tot] = v;  

    for(int i = tot; i >= 0; --i)  

        if(i != 0)  

            printf("%c -> ", vex[que[i]]);  

        else  

            printf("%c", vex[que[i]]);  

}