6 线性系统的时域分析方法

通过观察系统的时域输出表达式来分析系统的稳定性、暂态（动态）和稳态性能。

• 动态响应：动态响应又称为过度过程或是瞬态过程，是指系统在典型输入信号的作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。
• 稳态响应：系统在典型输入信号作用下，当时间趋于无穷时，系统输出量的表现形式。
• 稳定是系统能够运行的首要条件，只有当动态过程收敛时，研究系统的动态性能才有意义。

6.1 典型输入信号

6.2 时间响应的性能指标

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通常在阶跃函数的作用下，测定或计算系统的动态性能。
动态性能指标：假定系统在阶跃信号输入之前处于静止状态，输出量的各阶导数均等于0，即系统处于稳定状态。动态性能指标是指稳定系统在阶跃函数作用下，动态过程随时间变化状况的指标。直白地说就是系统的响应速度是怎样的。
我们主要关注系统三个方面的性能，分别是稳（稳定性）、准（准确性）、快（响应速度）。

上图中有几个量是我们特别关注的

符号	含义
t r t_r tr​	上升时间，系统受到阶跃信号的激励后，第一次到达稳态值的时间
t p t_p tp​	峰值时间，系统受到阶跃响应激励后，到达峰值的时间
t s t_s ts​	调节时间，系统到达稳定，即进入误差允许范围内所需要的稳态时间，该量的大小与误差设计要求有关
σ % ( M p ) = A B × 100 % \sigma \%(Mp) =\frac{A}{B}×100\% σ%(Mp)=BA​×100%	超调量，或叫最大超调量
t d t_d td​	延迟时间，阶跃响应曲线第一次到达最终值的一半所需要的时间
N N N	振荡次数，阶跃响应时间穿过稳态值次数的一半（一次振荡穿越两次）

对于始终没有超过稳态值得情况，也就是系统随时间得推移无限逼近稳态值，上升时间 t r t_r tr​的定义为：阶跃响应曲线从稳定值的10%上升到90%所需要的上升时间。

• t r t_r tr​和 t p t_p tp​可以用来衡量系统的响应速度
• 超调量 σ % \sigma \% σ%可以用来评价系统的阻尼程度

6.3 运动模态

6.4 零极点与运动模态的关系

C ( t ) = L − 1 [ Φ ( s ) R ( s ) ] C(t)=L^{-1}[\Phi(s)R(s)] C(t)=L−1[Φ(s)R(s)]
通过上面的公式可以看出，系统的运动模态是由系统的激励 R ( s ) R(s) R(s)和系统的传递函数 Φ ( s ) \Phi(s) Φ(s)共同决定的。两者分式相乘，分母对应相乘，共同构成了系统响应 C ( s ) C(s) C(s)的极点，现给出以下结论：

1. 传递函数极点所对应的运动模态称为系统的自由运动模态或振型。
2. 传递函数的零点不行成运动模型，但却能影响各个模态在响应中所占的比重，因而也能影响时间响应及其形状。（分子决定了各个运动模态在总的响应中所占的比例，零点只是其中较为特殊的比例关系）
3. 传递函数的极点对应的时间响应分量称为瞬态分量（暂态分量，决定到达稳态的过程）。
4. 输入信号拉普拉斯变换的极点对应的事件响应分量称为稳态分量（决定最终稳态结果）。

6.5 一阶系统的时域分析

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上表中所表达的是系统传递函数为
Φ ( s ) = 1 1 + T s \Phi(s)=\frac{1}{1+Ts} Φ(s)=1+Ts1​的一阶系统在不同激励下的响应。我们可以得到如下结论：

1. 系统的输出响应包括暂态响应和稳态响应，系统传递函数的极点决定暂态响应，输入激励信号的极点决定稳态响应。
   输入信号的拉普拉斯变换如下表所示：

信号类型	拉普拉斯变换
单位冲击函数	1
单位阶跃函数	1 s \frac{1}{s} s1​
坡函数	1 s 2 \frac{1}{s^2} s21​
单位加速度	1 s 3 \frac{1}{s^3} s31​

2. 一阶系统不能实现对单位加速度函数的跟踪，当 t → ∞ t\rightarrow \infty t→∞，系统输入和输出的误差将达到无穷大，无法达到控制目标。
3. 一个输入信号导数的响应正好是响应的导数

6.6 二阶系统的时域分析

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使用求根公式求解系统极点

通过拉普拉斯反变换，当 ζ < 0 \zeta<0 ζ<0, e − ζ t e^{-\zeta t} e−ζt项将导致系统响应发散。

ζ \zeta ζ	现象
0 < ζ < 1 0<\zeta<1 0<ζ<1	欠阻尼，系统的单位阶跃响应为指数衰减的正弦振荡形态，振荡频率为 w d = w n 1 − ζ 2 w_d=w_n\sqrt{1-\zeta^2} wd​=wn​1−ζ2 ​， w n w_n wn​\称为有阻尼自振角频率
ζ = 1 \zeta=1 ζ=1	临界阻尼，系统的阶跃响应是没有超调的单调上升过程
ζ > 1 \zeta>1 ζ>1	过阻尼，系统响应减慢
ζ = 0 \zeta=0 ζ=0	0阻尼，等幅振荡，暂态响应不会衰减，振荡频率为 w n w_n wn​，此时特征根为共轭虚根，实部为0

随着阻尼比的增大，系统响应的超调减小，响应速度变慢（上升时间延长）。

在控制工程中，除了不容许产生振荡响应的系统，通常都希望控制系统具有适度的阻尼（处于欠阻尼的状态）以达到更快的响应速度和更短的调节时间。
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对于单位冲激响应，可以对单位阶跃响应求导获得。

6.7 高阶系统的时间响应

将高阶系统等价为低阶或分解为低阶系统进行分析。

6.7.1 主导极点

通常对于高阶系统来说，距离虚轴最近的一个或两个闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他距离虚轴较远的极点，他们在时间响应相应的分量衰减较快，只起到次要作用，可以忽略。
每一个极点在反拉普拉斯变换后对应一个时间响应项，对于一个极点 σ \sigma σ
L − 1 ( 1 s − σ ) = e σ t L^{-1}(\frac{1}{s-\sigma})=e^{\sigma t} L−1(s−σ1​)=eσt
极点距离虚轴越近，时域响应的衰减越慢。
如果某一个极点相比于其他极点距离虚轴比其他极点近5倍以上，并且该极点附近没有0点，可以认为该系统的响应主要由该极点决定。
非主导极点对应的时间响应在上升时间 t r t_r tr​之前就能衰减完，基本不会影响过渡时间 t s t_s ts​等其他性能指标。
主导极点可以是实数也可以是共轭复数，具有一对共轭主导极点的系统可以当作二阶系统分析。
高阶系统的时间响应也可以分为稳态响应和暂态响应。稳态响应由激励信号拉氏变换的极点决定，暂态响应就是系统的自由运动模态，形式由系统传递函数的极点决定。