三角函数：正弦余弦定理及应用

转载自: https://blog.****.net/yinhun2012/article/details/79391444

这一篇我们来推导一些常用的三角函数公式，主要方便以后图形程序中的计算。

1.余弦定理公式

余弦定义主要作用是依靠已知三角形的两条边及其夹角，求第三边的情况，如下图：

三角函数：正弦余弦定理及应用

这里我们不处理向量（矢量）运算，单纯的从标量数值长度的推算入手，建立垂线后，得到的直角三角形ADC，可以通过勾股定理（前面推过）和sin²α+cos²α=1得到上面两个公式，后面的公式对我们求角度有很大帮助，而且这两个公式对后面图形方面计算会起到很大的帮助。

1.正弦定理的推导，前面有余弦定理，那么肯定就有一个对应的正弦定理了。

ps：这里要了解一个外接圆的概念，就是三角形△ABC的三个顶点都在一个圆上，那么这个圆就是△ABC的外接圆，其实这个也好反向理解，比如我们先画一个圆，然后任意在圆上取三点，连接三点就是一个三角形，但是假如我们不知道三角形的外接圆，要怎么去绘画和证明呢，如下图：

三角函数：正弦余弦定理及应用

上面我们通过两条垂直平分线，就能得到△AOB和△BOC，且两三角形为等腰三角形（这个很好看出来，△AOB被平分成共边的两个一样的直角三角形），那么OA = OB = OC，所以O为圆心做半径OA的圆就是外接圆了。

接下来继续推导正弦公式，如下图：

三角函数：正弦余弦定理及应用

上面我们推导了外接圆，那么接下来我们只需要建立等腰三角形△AoB △AoC △ BoC，将∠A转化成∠θ，就能得到上面的正弦定理了。

接下来到实际程序应用环节了，其实在实际项目开发中，余弦定理我用的还是挺多的，比如：

三角函数：正弦余弦定理及应用





using System.Collections;




using System.Collections.Generic;




using UnityEngine;



 




public class AngleFunc : MonoBehaviour {



 



    public GameObject PointA;



    public GameObject PointB;



    public GameObject PointC;



 



    void Start()




    {



        {  //构建一个三角形




            GameObject[] gos = new GameObject[3];



            gos[0] = PointA;



            gos[1] = PointB;



            gos[2] = PointC;



            for (int i = 0; i < gos.Length; i++)



            {



                LineRenderer line = gos[i].AddComponent<LineRenderer>();



                line.positionCount = 2;



                line.startWidth = 0.1f;



                line.endWidth = 0.1f;



                int index = i + 1;



                if (index >= gos.Length)



                    index = 0;



                line.SetPosition(0, gos[i].transform.position);



                line.SetPosition(1, gos[index].transform.position);



            }



        }



        //用余弦定理计算角度




        Vector3 AB = PointB.transform.position - PointA.transform.position;



        Vector3 BC = PointC.transform.position - PointB.transform.position;



        Vector3 AC = PointC.transform.position - PointA.transform.position;



        //计算∠A的夹角




        float angle1 = Mathf.Acos((getVectorLengthPow2(AB) + getVectorLengthPow2(AC) - getVectorLengthPow2(BC)) / (2 * Mathf.Sqrt(getVectorLengthPow2(AB) * getVectorLengthPow2(AC)))) * Mathf.Rad2Deg;



        //用自带的api计算角度




        float angle2 = Vector3.Angle(AB, AC);



#if UNITY_EDITOR



        Debug.LogFormat("angle1 = {0} angle2 = {1}", angle1, angle2);



#endif



    }



	



    private float getVectorLengthPow2(Vector3 vec)




    {



        return Mathf.Pow(vec.x, 2) + Mathf.Pow(vec.y, 2) + Mathf.Pow(vec.z, 2);



    }



	



}

代码比较少，直接贴上来了，主要就是用三角函数计算夹角值，其实unity中有自带的api，但是我们要知道公式的推导来源

三角函数：正弦余弦定理及应用

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