SLAM14讲阅读笔记(四)
为什么引入李群和李代数
相机的位姿是未知的，需要通过pnp等方法来求解位姿，位姿的表示由旋转和平移组成，旋转矩阵是带有约束的，求解时非常困难，因此希望用一种无约束的方法来表示位姿。
群
群是一种集合加上一种运算的代数结构。具有封闭性、结合律、幺元(单位元)、逆，简称“凤姐咬你”。那么旋转矩阵集合和矩阵乘法构成了群，称为特殊正交群SO(n)；欧式矩阵集合构成的群称为特殊欧式群SE(n)。
李群
李群是指具有连续（光滑）性质的群。
李代数
每个李群都有对应的李代数，李代数描述了李群的局部性质，是单位元附近的正切空间。
李代数由一个集合V、一个数域F和一个二元运算[,]组成，具有封闭性、双线性、自反性和雅克比等价的性质。
SO(3)与so(3)
特殊正交群对应的李代数是一个三维向量，每一个李代数都有对应的反对称矩阵，李代数与李群的关系通过反对称矩阵的指数映射建立。
SE(3)与se(3)
特殊欧式群对应的李代数是一个六维向量，前三维表示平移，后三维表示旋转。六维向量的反对称矩阵(概念拓展)是一个四维矩阵。
转换关系
李代数求导
位姿估计
要求最小值需要计算目标函数对T的导数，如果把T当做一个普通矩阵需要加约束，如果当做群的话，群没有加法，因此通过李代数来求导。
李代数求导的两种方法：
- 用李代数表示姿态，根据李代数加法对李代数求导；
- 对李群左乘或右乘微小扰动，对该扰动求导。
第一种方法计算比较复杂，不建议使用。