Cascade and breakdown in scale-free networks with community structure

期刊：Physical Review E,2006
文章主要研究带有社区结构的无标度网络上的级联现象。首先，文章介绍使用的网络模型，以及攻击的两种策略；然后介绍文章度量网络性能的两个指标，分别是网络效率和平均最短路径，文章定义容差系数α为初始负载的倍数；最后通过仿真实验分析了社区结构强度和α对网络抗攻击性的影响。

1. Model

文章使用Yan等人提出的带有社区结构的无标度网络，生成步骤如下：
首先，设定c个社区，每个社区有m0个节点；
然后，每一步我们向网络中添加一个新的节点，新的节点产生m个连接，其中n个连接在该点所在社区内，m-n个连接在该社区外，所有连接都依据偏好依附产生。
同时无标度特性与初始的m0以及m和n的取值无关，所以试验结果不会因为这些取值发生改变。文章设置幂指数为3，Q模块度函数揭示网络的社区结构强弱。

2. Measurments

文章与已有研究的不同在于：
（1）文章使用的iter remove和inner remove两种策略；
（2）当系统达到稳态的时候再次加入新的流量造成更要重的攻击；
（3）文章使用efficiency和最短路径D衡量这些攻击造成的伤害。

文章将网络初始经过连边的最短路径数目记做L(0)，记α为容差系数了，表示是初始流量的多少倍。(这里和之前的定义有一些不一样，之前的α是增加的倍数。）

3. Simulation results

文章设置N=1200，m0=4，m=4，n=3，c=4.

E1：文章设置了Q值不同的三种网络，发现，无论是iter remove还是inner remove，网络的效率都呈现下降趋势，Q值大的网络性能下降有所延迟。网络的最短路径D先上升后下降，Q值大的网络性能变化有所延迟，同时iter remove比inner remove 性能下降延迟100个时间单位左右。

E2：无论是哪种策略，最大社区的size和网络的平均集聚系数都随时间而逐步下降，iter remov的移除策略有时会使得网络的社区现象更明显，集聚系数更高。

E3：网络的社区强度也随着攻击变得越来越弱。

E4：容差系数越高，网络在受到攻击时效率也会更高。

文章发现不同的移除策略、社区强弱程度对网络的影响是不一样的，同时，社区强度越弱、容差系数越小，网络对攻击会越敏感。所以，对于带有社区结构的无标度网络而言，较强的社区结构以及更大的容差系数可以保障网络的稳健性。