Chango的数学可视化（二） 向量场：梯度，散度，拉普拉斯

起因：

在没有看梁昌洪老师的公开课之前，对向量场知识一无所知，碰到泊松融合，泊松重建的文章时非常痛苦。现在将知识慢慢补起来，并用程序可视化，一来巩固知识，二来了解离散化形式和其实际中遇到的问题。

目的：

从Poisson Surface Reconstruction一文得到启发。

先模拟一个包含目标点云的数量场，使得模型点云的数量值为1，其他为0。

通过对此数量场进行一次梯度算子，得到一向量场，也就是其表面内法线估计；

再对此向量场进行一次，得一数量场，也就是表面指示数量场，即数值为1的点就是表面。

当然其中对比实际和论文有很多简化和差异，不再赘述。

本文就是一个3D版laplace边缘检测，但出发点是矢量场的内容。

步骤：

梯度指向最大变化方向

散度表示源状态

1.建立模型点云和数量场

简单认为模型就是一个完美球。而我们的点云也都是网格对齐的。

模型点值为1，其他为0。

2.使用得矢量场。

对于离散情况得3D梯度算子，我直接从2D形式推广，也就是

至于怎么来得，2D形式推导可参考我之前写的：

Chango的数学Shader世界（十）流体模拟-有限微分形式

此时，只有模型表面点梯度才不为0向量，为模型表面内法线方向。

在离散情况下,由于我们离散梯度计算的原因，表面“接壤”的黑色层和白色层两个点梯度都不会为0.

3.再使用得laplace数量场。

为什么我不从一开始的数量场1步推导laplace算子到laplace数量场？

因为一来可以学会梯度场到数量场的转换，二来在泊松融合等实际应用中，都是将背景图的梯度场与ROI的梯度场相加，再的，否则仅用ROI的laplace结果然后加上去边缘必然无法融合。（3D模型泊松融合也是一样的道理）。

所以分两步走是必然的。

那么怎样离散的laplace怎么得到呢？这里有点绕。

我们知道连续函数有，laplace由三部分相加组成。

现在，尝试取梯度场的x分量组成数量场，此数量场是,因为我们的梯度场是。

再求此数量场的梯度，则得梯度场,那我们可以发现，所需的是其第一个分量。

我们再来捋一捋，之前算离散梯度是==。

所以，现在有了梯度场，要求，则只要关心x方向vx1,vx2两个向量的x值，就是对应离散梯度的x1,x2。

所以计算得(vx2.x-vx1.x)/2。

,同理，最后相加即可。

我画个图，可能更加清楚：

结果，laplace数量场中，只有靠近球面的点才不为0，模型表面被“标记”了。