四元数的表示

我们都知道四元数用来描述旋转比较简单，那他怎么描述旋转呢？首先先简单的知道一下四元数的表示方法吧。

四元数的表示可以写为
$\vec{q} = ω+xi+yj+zk=(ω,x,y,z)=(ω,v) ,其中\vec{v}=(x,y,z)$q​=ω+xi+yj+zk=(ω,x,y,z)=(ω,v),其中v=(x,y,z)
简单地说就是一个实数和三个虚数的表示方法，先这样记住吧。

好了，可以看视频了，看完视频再看下面的说明。 视频传送门

描述旋转

先简单来一个复数描述旋转的引子。

复数描述旋转

复数的表示如下
$z=a+bi$z=a+bi

当我们使用$i$i去乘以一个复数时，当我们把得到的结果绘制在复平面上时，发现得到的位置正好是绕原点旋转90度的效果。

于是可以猜测，复数的乘法和旋转之间应该有某些关系。 我们可以通过定义一个复数
$q=cos\theta+isin\theta$q=cosθ+isinθ
使用它作为一个旋转的因子，当与复数相乘时，得到：
$p=a+bi \\ q=cos\theta+isin\theta \\ pq=(a+bi)(cos\theta+isin\theta)\\ a'+b'i=acos\theta-bsin\theta+(asin\theta+bcos\theta)i$p=a+biq=cosθ+isinθpq=(a+bi)(cosθ+isinθ)a′+b′i=acosθ−bsinθ+(asinθ+bcosθ)i
这个公式正好是二维的旋转公式，当把新的到的$(a'+b'i)$(a′+b′i)绘制在复平面上时，得到的正好是原来的点$(a+bi)$(a+bi)旋转$\theta$θ角之后的位置。

附一张视频中的例子帮助理解。

四元数表示旋转

定义一个向量$\vec(v)=(x,y,z)$(​v)=(x,y,z)，这个向量为你想要旋转轴，旋转角度为$\theta$θ（右手法则的旋转），这个$\theta$θ和上面的$\omega$ω不一样，$\theta$θ只是一个角度，$\omega$ω是一个实数，具体推倒关系见下面。此图中，
$v=(\frac{1}{\sqrt{14}}，\frac{2}{\sqrt{14}}，\frac{3}{\sqrt{14}}) , \theta=\frac{\pi}{3}$v=(14​1​，14​2​，14​3​),θ=3π​

那么由这个旋转轴和角度定义的四元数可以写成下面的形式

其中第一项就是$\theta$θ和$\omega$ω的关系。

进一步解释

图中黄线为旋转轴，三个系数平方之和为1，使用想要旋转的角构建一个四元数（该图中角度为40°）。用该角的余弦作为实部，加上该角的正弦乘以一个虚部构成一个四元数，只不过这次的虚部有三个部分，分别对应旋转角的坐标，事实上用的是半角（原因参见下面文档）

对向量$p$p绕$v$v轴旋转$\theta$θ角，就可以表示成
$p'=qpq^{-1}$p′=qpq−1

展开后为：

就先这么简单理解吧。

详细讲解参见：文档传送门