学好DP的一个关键点在于刷遍所有类型的DP题目

• 选择DP问题：背包模型
• 序列DP问题
• 状态压缩问题
• 状态机问题
• 树形DP问题
• 区间DP问题
• 斜率优化问题

文章目录

• 1. 核心思想——集合
• 2. 01背包问题
• 2.1 集合
• 2.2 属性
• 2.3 状态计算

1. 核心思想——集合

闫式DP分析法的核心思想是从集合的角度来分析DP问题。

所有的DP问题都可以使用闫式DP分析法进行分析。（经过70道题目验证通过????）

我们可以把做过的所有DP问题都看作是有限集上的最值问题。

DP问题 == 有限集上的最值问题

然而，由于这个有限集的数量级很高（通常是指数级别的），所以肯定不能暴力地进行枚举，时间复杂度会过高。则需要使用DP来进行优化，DP的两个阶段：

1. 化零为整，寻找共性——状态表示

   所谓 化零为整 是指我们对于零星的情况，不是一个一个去枚举，而是每次根据这些零星的情况的某些特性去枚举一类情况（即一个子集）
   f(i)需要考虑的问题：

   • 表示的是一个怎样的集合？
   • f(i)保存的值是什么意思(max/min/count/…)？与集合有什么关系?

2. 化整为零，寻找不同——状态计算

   如何去求f(i)呢？
   我们要把它们划分成若干个不同的子集来求，每一个子集分别去求。需要满足的条件有：

   • 不重复（可以不满足，例如求min,max。但是求count的时候，就不能重复）
   • 不遗漏
     例如，我们假设f(i)表示的是某个集合的最大值，那么可以每个子集的最大值的最大值。

那么问题来了，怎么进行集合f(i)的划分呢？
寻找最后一个不同点。

2. 01背包问题

2.1 集合

集合的描述一般是有套路的：所有满足条件1，条件2的元素的集合。
这个条件1和条件2一般对应到我们的状态表示的每一维。

2.2 属性

一般是根据题目是要求什么来确定的。

2.3 状态计算

集合f(i)的划分就是寻找最后一个不同点。对于01背包问题，最后一个不同点就是，选第i个物品和不选第i个物品是两种不同的方案。

注意：

• DP的优化是在DP的朴素分析完成之后才进行的。所以得先想好朴素分析，不要急于求成；
• DP问题的所有优化都是对代码做等价变形；