线性变换

接上一篇线性变换（上）

我们今天来讨论关于平面向量的线性变换。

在这里，我先说一个引理，根据线性变换的定义，$T(cv)=cT(v),T(u+v)=T(u)+T(v)$T(cv)=cT(v),T(u+v)=T(u)+T(v)，那也可以证明
$T(c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3+\cdots+c_nv_n)=c_1T(v_1)+c_2T(v_2)+\cdots+c_nT(v_n)$T(c1​v1​+c2​v2​+c3​v3​+⋯+cn​vn​)=c1​T(v1​)+c2​T(v2​)+⋯+cn​T(vn​)

1. 拉伸变换和压缩变换

听着这个名字，你肯定就知道这个变换是什么了。
定义：称$T(v)=kv$T(v)=kv的变换为拉伸变换或压缩变换，其中$k>1$k>1时为拉伸变换，$0\leqslant k\leqslant1$0⩽k⩽1时为压缩变换

由于这个变换太简单，自己在脑子里想一想就能明白，所以我这里就不放图片了。

拉伸也可以只对$x$x轴或$y$y轴进行拉伸或压缩。

对$x$x轴的拉伸和压缩就是乘矩阵$\begin{bmatrix}k&0\\0&1\end{bmatrix}$[k0​01​]

对$y$y轴的拉伸和压缩就是乘矩阵$\begin{bmatrix}1&0\\0&k\end{bmatrix}$[10​0k​]

2. 旋转变换

定义矩阵$A=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$A=[01​−10​]，那么

$Av=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix}$Av=[01​−10​][v1​v2​​]
$=\begin{bmatrix}-v_2\\v_1\end{bmatrix}$=[−v2​v1​​]

也就是相当于$v$v逆时针旋转$\dfrac\pi2$2π​弧度

(我真的找不到更好的图片了，请谅解)

这里先讲旋转$\dfrac\pi2$2π​弧度的情况，旋转任意角会在后面说。

3. 对称变换

一个向量$v=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix}$v=[v1​v2​​]乘以矩阵$\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$[10​0−1​]，就是$\begin{bmatrix}v_1\\-v_2\end{bmatrix}$[v1​−v2​​]，相当于做向量$v$v关于$x$x轴的对称向量

同理，向量$v$v乘上$\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}$[−10​01​]是关于$y$y轴对称。$v$v乘上$\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}$[−10​0−1​]，或者说乘上$-1$−1是关于原点对称。

还有两种对称形式：$v$v乘以$\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$[01​10​]就是$v$v横纵坐标交换，即关于直线$y=x$y=x对称，而$v$v乘以$\begin{bmatrix}0&-1\\-1&0\end{bmatrix}$[0−1​−10​]是关于$y=-x$y=−x的对称。

4. 剪切变换

剪切变换，通俗的解释就是正体字和斜体字的关系。

比如上图，第一个是正常的蒟蒻果冻（就是我自己），左边的是经过水平剪切之后的蒟蒻果冻，右边的是经过垂直剪切后的蒟蒻果冻。

对于水平剪切，$T(v)=\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}v$T(v)=[10​k1​]v，$k$k越大剪切越严重。

垂直剪切的公式是$T(v)=\begin{bmatrix}1&0\\k&1\end{bmatrix}v$T(v)=[1k​01​]v，$k$k越大剪切越严重。

后面会给出这个公式的证明。

5. 投影变换

投影变换看起来像是从二维映射到一维的变换，实际上你的确可以这么理解，但是我们说的这个是投影到二维中的一条直线的变换。

投影到$x$x轴的变换就是乘上矩阵$\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$[10​00​]，投影到$y$y轴上就是乘矩阵$\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}$[00​01​]。

你细品一品，不难验证这两个变换的正确性。