超平面详解

学习SVM绕不开超平面的概念。先复习一些基础的概念（平面方程），帮助理解。
1. 平面及其方程：
因为平面与空间直线分别是曲面与空间曲线的特例，所以在讨论平面与空间直线以前，先引入有关曲面方程与空间曲线方程的概念。
在空间解析几何中，任何曲面或曲线都可以看做点的集合轨迹，在这样的意义下，如果曲面S与三元方程： F(x, y, z) = 0 （1-1）
有下述关系：
（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程（1-1）
（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（1-1）
那么，方程（1-1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（1-1）的图形。

空间曲线可以看做两个曲面S1, S2的交线，设
F（x, y, z）= 0 和 G（x, y, z ）= 0
分别是这两个曲面的方程，他们的交线为C。因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组：
$\left\{ \begin{array}{c} F（x, y, z）= 0\\ G（x, y, z ）= 0 \end{array} \right.${F（x,y,z）=0G（x,y,z）=0​
2. 平面的方程
（1）点法式方程（1-2）：$A(x-x_{0}) + B (y-y_{0}) + C( z-z_{0}) = 0$A(x−x0​)+B(y−y0​)+C(z−z0​)=0
（2）一般方程（1-3）： $Ax + By +Cz +D = 0$Ax+By+Cz+D=0
（3）截距式方程（1-4）：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c} =1$ax​+by​+cz​=1

. 方程详解(1-2)：
平面的法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，这个向量就叫做该平面的法线向量。
因为过空间一点可以作且只能做一平面垂直于一已知直线，所以当平面 $\pi$π上一点$M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$M0​(x0​,y0​,z0​) 和它的一个法线向量 n = (A, B, C) 为已知时，平面 $\pi$π的位置就完全确定了。下面我们来建立平面$\pi$π的方程。

设 M（x, y, z）是平面$\pi$π上的任意一点，则向量 $\overrightarrow {M_{0}M}$M0​M​必与平面$\pi$π的法向量 $n$n 垂直，即它们的数量积等于0： $n\bullet\overrightarrow {M_{0}M}=0$n∙M0​M​=0因为 n = (A, B, C), $\overrightarrow {M_{0}M} =(x-x_{0}, \ y-y_{0}, \ z-z_{0})$M0​M​=(x−x0​, y−y0​, z−z0​)所以有：
$A(x-x_{0}) + B (y-y_{0}) + C( z-z_{0}) = 0$A(x−x0​)+B(y−y0​)+C(z−z0​)=0

. 方程详解(1-3)：
因为平面的点法式方程（1-2）是 x, y 和 z 的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定，所以任意平面都可以用三元一次方程来表示。
设，有三元一次方程： $Ax + By +Cz +D = 0$Ax+By+Cz+D=0
我们任取满足该方程的一组数 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$(x0​,y0​,z0​)，即方程（1-5）$Ax_{0} + By_{0} +Cz_{0} +D = 0$Ax0​+By0​+Cz0​+D=0把上述两等式相减，得方程（1-3）$A(x-x_{0}) + B (y-y_{0}) + C( z-z_{0}) = 0$A(x−x0​)+B(y−y0​)+C(z−z0​)=0把它和平面点法式方程（1-2）做比较 ，可以知道方程（1-3）是通过点$M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$M0​(x0​,y0​,z0​) ，且以$n = (A, B, C)$n=(A,B,C)为法线向量的平面方程。 其中 x, y, z 的系数就是该平面的一个法线向量 n 的坐标。

. 方程详解(1-4)：
设一平面与 x, y 和 z 轴的焦点一次为 $P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)$P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点，如下图：

设所求平面的方程为：$Ax + By +Cz +D = 0$Ax+By+Cz+D=0
因$P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)$P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点都在这平面上，所以点$P, Q和R$P,Q和R都满足以上平面方程，代入平面方程，即有：
$\left\{ \begin{array}{c} aA + D = 0\\ bB + D = 0\\ cC + D = 0 \end{array} \right.$⎩⎨⎧​aA+D=0bB+D=0cC+D=0​ 解得$A=-\frac{D}{a}, \qquad B=-\frac{D}{b}, \qquad C=-\frac{D}{c}$A=−aD​,B=−bD​,C=−cD​以此代入方程（1-3）并除以 $D(D \ne0)$D(D̸​=0) 而 a, b 和 c 依次叫做平面在 x, y 和 z 轴上的截距。

3.超平面
有了上面平面的理解，超平面就是一个数学概念了。 一维直线空间上的超平面是数轴上的一个点，二维平面空间上的超平面是一条线，三维空间里的超平面是一个面。以此类推。
百度百科上对超平面的数学定义是这样的：超平面H是从n维空间到n-1维空间的一个映射子空间，它有一个 n 维向量和一个实数定义。因为是子空间，所以超平面一定过原点。

4. 点到超平面的距离
设 $P_{0}(x_{0}, \ y_{0}, \ z_{0})$P0​(x0​, y0​, z0​) 是平面 $Ax + By +Cz +D = 0$Ax+By+Cz+D=0 外一点，求$P_{0}$P0​ 到这个平面的距离。

在平面上任取一点$P_{1}(x_{1}, \ y_{1}, \ z_{1})$P1​(x1​, y1​, z1​)，并作一法线向量 n ，由上图，考虑到 $\overrightarrow {P_{0}P_{1}}$P0​P1​​ 与 n 的夹角 $\theta$θ 也可能是钝角，所求的距离$d =|\overrightarrow {P_{0}P_{1}}||cos\theta|=\frac{|\overrightarrow {P_{0}P_{1}}\bullet n|}{|n|}$d=∣P0​P1​​∣∣cosθ∣=∣n∣∣P0​P1​​∙n∣​而$n=(A,B,C),\qquad\overrightarrow {P_{0}P_{1}}=(x_{0}-x_{1}, \ y_{0}-y_{1}, \ z_{0}-z_{1})$n=(A,B,C),P0​P1​​=(x0​−x1​, y0​−y1​, z0​−z1​) 得$\frac{\overrightarrow {P_{0}P_{1}}\bullet n}{|n|}=\frac{A(x-x_{0}) + B (y-y_{0}) + C( z-z_{0})}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$∣n∣P0​P1​​∙n​=A2+B2+C2​A(x−x0​)+B(y−y0​)+C(z−z0​)​$\qquad\qquad\qquad=\frac{Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0}-(Ax_{1} + By_{1} + Cz_{1})}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$=A2+B2+C2​Ax0​+By0​+Cz0​−(Ax1​+By1​+Cz1​)​
因为$Ax_{1} + By_{1} + Cz_{1}+D = 0$Ax1​+By1​+Cz1​+D=0，所以$\frac{\overrightarrow {P_{0}P_{1}}\bullet n}{|n|}=\frac{Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0}+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$∣n∣P0​P1​​∙n​=A2+B2+C2​Ax0​+By0​+Cz0​+D​
由此，得点$P_{0}(x_{0}, \ y_{0}, \ z_{0})$P0​(x0​, y0​, z0​) 到平面 $Ax + By +Cz +D = 0$Ax+By+Cz+D=0 的距离公式：$d=\frac{|Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0}+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$d=A2+B2+C2​∣Ax0​+By0​+Cz0​+D∣​

其矢量表示方式如下：设矢量 w 为平面的法向量，标量 b 为平面到原点的截距，其中 $w, x$w,x 均为列向量， 也可得超平面方程：$f(x)=w^T+b=0$f(x)=wT+b=0由此，点 x 到超平面的距离公式为$d=\frac{|w^Tx+b|}{||w||}$d=∣∣w∣∣∣wTx+b∣​

参考资料：同济版《高等数学》下册，