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正余弦优化算法(Sine Cosine Algorithm,SCA)

该算法是由澳大利亚的Mirjalili于2016年提出的一种基于种群的新型随机优化算法，SCA创建多个初始随机候选解，然后利用基于正弦和余弦函数的数学模型，使得这些解朝最优解方向或反向波动。算法源代码可以关注公众号后回复"正余弦"获取。

SCA

SCA本质上为基于种群的优化算法，而基于种群的优化算法的共同点是都包含两个阶段：探索和利用。探索阶段，算法以较大的概率随机搜索以充分探索搜索空间，而在利用阶段，随机概率逐渐下降。

SCA使用以下两个等式进行位置更新：
$X_{i}^{t+1}=X_{i}^{t}+r_{1} \times \sin \left(r_{2}\right) \times\left|r_{3} P_{i}^{t}-X_{i}^{t}\right|\tag{1}$Xit+1​=Xit​+r1​×sin(r2​)×∣∣​r3​Pit​−Xit​∣∣​(1)

$X_{i}^{t+1}=X_{i}^{t}+r_{1} \times \cos \left(r_{2}\right) \times\left|r_{3} P_{i}^{t}-X_{i}^{t}\right|\tag{2}$Xit+1​=Xit​+r1​×cos(r2​)×∣∣​r3​Pit​−Xit​∣∣​(2)

其中$X_{i}^{t}$Xit​为第$t$t次迭代中当前解在第$i$i个维度上的位置，$r_1$r1​/$r_2$r2​/$r_3$r3​为随机数，$P_{i}$Pi​为第$i$i维终点的位置。

这两个等式通常按照如下的组合方式使用：
$X_{i}^{t+1}=\left\{\begin{array}{ll} X_{i}^{t}+r_{1} \times \sin \left(r_{2}\right) \times\left|r_{3} P_{i}^{t}-X_{i}^{t}\right|, & r_{4}<0.5 \\ X_{i}^{t}+r_{1} \times \cos \left(r_{2}\right) \times\left|r_{3} P_{i}^{t}-X_{i}^{t}\right|, & r_{4} \geq 0.5 \end{array}\right. \tag{3}$Xit+1​={Xit​+r1​×sin(r2​)×∣r3​Pit​−Xit​∣,Xit​+r1​×cos(r2​)×∣r3​Pit​−Xit​∣,​r4​<0.5r4​≥0.5​(3)

其中$r_4$r4​为[0,1]之间的随机数。

可以看出，在SCA中主要涉及四个参数：$r_1$r1​,$r_2$r2​,$r_3$r3​和$r_4$r4​。参数$r_1$r1​为下一位置的所在区域（或移动方向），该区域既可以位于解和终点之间的空间内，也可以不在。参数$r_2$r2​定义了朝向或背离终点的距离远近。参数$r_3\in[0,2]$r3​∈[0,2]为终点引入了随机权重，以随机强调($r_3>1$r3​>1)或弱化($r_3<1$r3​<1)终点在距离计算时的作用。参数$r_4$r4​用于以相等的概率在正弦和余弦之间进行切换。

等式(1)和(2)中正弦和余弦对下一位置的影响如图1所示，正弦和余弦的周期模式可以允许一个解在另一个解周围重新定位，从而保证利用两个解之间定义的空间，同时为了探索搜索空间，解应该能够搜索其对应终点之间之外的空间，而这可以通过改变正弦和余弦函数的取值范围来实现，如图2所示。

图3展示了改变正余弦的取值范围可以更新解的位置，该随机位置到底是在空间内还是空间外，是通过等式(3)中定义的$r_2\in[0, 2\pi]$r2​∈[0,2π]来实现的。

为了平衡探索和利用，正弦和余弦的取值范围应该自适应地调整：
$r_{1}=a-t \frac{a}{T}\tag{4}$r1​=a−tTa​(4)

其中$t$t为当前迭代，$T$T为最大迭代次数，$a$a是一个常数。图4展示了当$a=2$a=2时取值范围递减的过程。

所以通过图3和图4可知，当取值范围在(1,2]和[-2,-1)范围内时，SCA算法在空间内进行探索，而当取值范围在[-1,1]之间时，SCA在空间内进行利用。

SCA算法的伪代码如下：

初始化初始解($X$X)

Do

 评估每个代理的目标函数

 更新当前最优解($P=X^*$P=X∗)

 更新$r_1$r1​,$r_2$r2​,$r_3$r3​和$r_4$r4​

 更新代理的位置(式3)

While($t$t<最大迭代次数)

Return全局最优解