Slam 14讲学习笔记 —— 第3讲 —— 三维空间刚体运动
注：本文是阅读了高翔博士的slam 14讲所记的笔记，内容大多来自
其书。
一个刚体（在SLAM中可简化理解为相机）在三维空间中的运动使用平移和旋转来描述。
1.相机的旋转和平移如何描述：先说旋转：
：设某个单位正交基 (e1,e2,e3) （相当于不变的世界坐标系）经过一次旋转，变成了 (e′ 1,e′ 2,e′ 3)（相当于相机的坐标系）。那么，对于同一个向量 a（注意该向量并没有 随着坐标系的旋转而发生运动），它在两个坐标系下的坐标为 [a1,a2,a3]T 和 [a′ 1,a′ 2,a′ 3]T。 根据坐标的定义，有：
但我们想知道的是两个坐标之间的关系，形式应为:a=()a’
注：a和a’为坐标， ()里应为某种运算关系。所以对上式同时左乘：[e1T,e2T,e3T],得到下面的式子：
R即为旋转矩阵。旋转矩阵可以用来描述相机的旋转。
思考：现实中的旋转（360度以内），不考虑平移等因素，是以某个轴为中心的旋转，那么既然旋转矩阵可以描述旋转，是不是可以理解为360度以内的任意旋转都可以用矩阵描述呢》答案是可以！且这些旋转矩阵构成的集合被称为SO(3）,3表示是在三维中。slam目前也只研究到三维，这个集合SO(3)即属于李群（李群包含了SO(3))。
旋转矩阵的性质：
1）行列式为1 的正交矩阵
2）因为为正交阵，所以RT=R-1,描述的是一个和R相反的旋转。
至此，相机的旋转的描述可以说已经成功了。加上平移，可以写成下面的式子：
注：上式描述的是：世界坐标系中的向量 a，经过一次 旋转（用 R 描述）和一次平移 t 后，得到了 a′。
好了，大功告成，可然而不。。。。。
因为存在问题：就是相机在三维空间的移动不是只有一次，而是很多次，以两次为例：
注1：上面的式子通过添加最后一维，即用4个数来表达3维向量，多一个自由度但允许我们写成线性的形式，如三维空间的点（1，1，1）和（2，2，2）代表不同的点，但是，用四维齐次坐标来表示三维（同理用三维齐次也可以来表示二维，可以想一想）则（1，1，1，1）和（2，2，2，2）即（n, n,n,n)为三维空间的同一点）注：（必须最后一维化为1）
注2：上式中的T即为变换矩阵由上式可以看出，T中左上角为旋转矩阵R，右上角为平移向量，它一样也构成了一个群SE(3)。
那么到现在三维的空间运动描述总算完了吧，并不。。。
思考：
问题一：旋转矩阵R为33的矩阵，9个量，一次旋转3个自由度；变换矩阵44，16个量，表达了6个自由度（旋转加平移）
说明这种表达是不合理的，找更加简洁的方式。
问题二：旋转和变换矩阵有自身约束，行列式为1 的正交阵。而在估计相机的位姿即是计算和估计旋转和变换矩阵，这些约束会使得求解变得困难。
所以提出了旋转向量，一个三维向量表达旋转，六维向量表达变换。
现实生活中，一个旋转可以用一个旋转轴，一个旋转角度，来描述。旋转向量也如此：设旋转向量与旋转轴一致，向量的长度描述旋转角。
所以除了旋转矩阵R，一个三维向量即可以描述旋转。
既然旋转矩阵与旋转向量都可以描述旋转，那肯定有关系。关系如下：
注：什么是反对称 ^，以下做介绍：
对于三维空间中的两个向量a,b 除了四则运算和数乘外还存在内积和外积的关系：
- 内积：高中时即接触过：描述的是向量间的投影关系:
- 外积：
第一个等于我们高中就接触过，向量的叉乘（当时我们的老师是这样叫的）后面的计算我完全忘记了，但肯定是对的。这里的a为一个向量，a^却是一个矩阵了。（向量叉乘向量等于了矩阵与向量的乘法）
外积性质：
由一个旋转矩阵到一个旋转向量的计算：
那到现在是不是就可以结束这一讲了呢？可并没有。。。。
高老师又提出了：
1）使用欧拉角可以方便我们直观的去理解三维空间的旋转。但是有万向锁的缺点，而在SLAM中也很少用欧拉角来表示旋转，但是可以用来验证自己的算法是否正确。
2）旋转矩阵——冗余；
旋转向量——具有奇异性。
所以提出了四元数：四元数在表达三维空间的旋转时，既是紧凑的，还没有奇异性，所以引出了四元数。
对于四元数：
1）一个虚四元数可以对应一个空间点。
2）能用单位四元数表示空间中任意的一个旋转。
那怎么用四元数表示旋转呢？
试想一个三维空间点p = [x,y,z], 定义一个旋转转轴为n，角度为&,该点经过这个旋转之后的坐标为p’ = [x’,y’,z’]，则：
用旋转矩阵表示：p = Rp’。
用四元数则为：
注：式3.19为下图
旋转向量与四元数之间的关系：
旋转矩阵与四元数的关系：
四元数的运算包括：加减乘、共轭、模长、逆、数乘、点乘。
注：以上的关于刚体在三维空间的运动（旋转、平移）
都是欧式变换。把相机想象成一个刚体，但实际中，三维空间还有其他的变换：相似、仿射和投影。因为涉及到形变过于复杂，本书不表。