菜鸡HP的被虐日常（8）当扩大n倍以后……④

$By\quad HolyPush$ByHolyPush

愚蠢的$HP$HP着实被这个问题难倒了厚。刚学完虚数，对它的存在还比较难理解。
聪明的$txl$txl：其实我刚刚“水平数轴”这个词不是很规范，因为，牵扯到虚数后，它就是在复平面内运动了，而不是单纯在一条直线上运动。你不是很擅长用物理意义去解决问题嘛，你用物理意义去想想？

如果是$x=e^t$x=et，那么对其求导得$v=e^t$v=et，表示物体在$x$x处的速度就等于$x。$x。

如图，红色表示位移矢量，粉色表示速度矢量，则$x=e^t$x=et的情况下，位移矢量的大小和速度矢量大小应该时刻相同。

当我们将位移矢量变成$x=e^{nt}$x=ent时，则$v=ne^{nt}$v=nent，表示在任意时刻，物体在$x$x处的速度大小就等于$nx$nx。例如，$n=2$n=2时，物体在某一点的速度大小就是这个点位置的两倍，速度会越来越大，当$n=-1$n=−1时，速度大小就是这个点位置的相反数，运动将从$(1,0)$(1,0)开始向左做减速运动。

那么$e^{it}$eit，如果求导法则依然适用的话，那么它的导数就是$ie^{it}$ieit，也就是任何时刻，它的速度都是它位移的$i$i倍，这是什么意思呢？

聪明的$txl$txl：还记得我在教你复数的时候，你说出的一句十分重要的话吗？乘上$i$i，相当于旋转$90°！$90°！
愚蠢的$HP：！$HP：！也就是说，任何时候，它的运动方向都是垂直于其位移，大小和其位移相同。这是什么意思呢？

这难道不就是匀速圆周运动吗？速度方向始终和位移方向垂直，且大小始终与位移大小相同$!$!泰神奇勒。

聪明的$txl：$txl：既然它是一个匀速圆周运动，且速度大小和位移大小相等，都是$1，$1，那么我们取一个时间$t_0$t0​，它就绕过了$t_0$t0​个弧度，对应的辐角就是$t_0。$t0​。也就是说，$t_0$t0​时间时，它的极坐标就是$(1,t_0)$(1,t0​)，写成复数就是$cos(t_0)+isin(t_0)!$cos(t0​)+isin(t0​)! 所以如果把$t_0$t0​换成$x$x，我们就得到了大名鼎鼎的欧拉公式$e^{ix}=cosx+isinx$eix=cosx+isinx！$($(此处推荐$3B1B$3B1B的视频，里面的视频讲解能够让你更动态地了解这个过程$)$)

愚蠢的$HP:$HP:原来欧拉公式可以这么简单$!$!把$x=\pi$x=π代入，就有$e^{i\pi}=-1$eiπ=−1，即$e^{i\pi}+1=0$eiπ+1=0，多么优秀的式子惹！
聪明的$txl:$txl:在这个著名的公式中，包含了$5$5个最重要最有意义的量，$1$1表示自然数的基本单位，是人类数学史中第一个出现的数字，$0$0表示无，以前数字只有一至九，零则用空格表示。而用符号代替空格来记录$0$0这个数字，则体现出了数字体系的日益完善。$e$e是自然对数的底数，它是一个极限值，是一个超越数，在计算中具有重要意义，$\pi$π是圆周率，它也是一个超越数，在实际生活的运用中具有巨大的作用，对圆周率的讨论至今还没有停息，$i$i是虚数单位，是数系扩充的产物，在许多技术方面，$i$i都是一个非常重要的存在，同时使$x^n=1$xn=1的解达到了$n$n个，是多项式乘法中的快速傅里叶变换的重要基础$……$……
愚蠢的$HP$HP：喂喂喂，你又扯远了。
聪明的$txl：$txl：哦哦……然后我们再来看看这个式子有什么用。

$e^{ix}=cosx+isinx$eix=cosx+isinx，所以我们有
$e^{i(nx)}=cos(nx)+isin(nx)$ei(nx)=cos(nx)+isin(nx)
而根据幂的运算法则有$e^{i(nx)}=(e^{ix})^n=(cosx+isinx)^n$ei(nx)=(eix)n=(cosx+isinx)n
所以有$cos(nx)+isin(nx)=(cosx+isinx)^n$cos(nx)+isin(nx)=(cosx+isinx)n

聪明的$txl$txl：你可能听说过大名鼎鼎的“棣莫弗定理”，即令$z_n=r_n(cos\theta_n+isin\theta_n),n=1,2,3...$zn​=rn​(cosθn​+isinθn​),n=1,2,3...，那么$z_1z_2z_3...z_n=r_1r_2...r_n[cos(\theta_1+\theta_2+...+\theta_n)+isin(\theta_1+\theta_2+...+\theta_n)]$z1​z2​z3​...zn​=r1​r2​...rn​[cos(θ1​+θ2​+...+θn​)+isin(θ1​+θ2​+...+θn​)]（证明就是复数的极坐标形式运算法则一步步算下去就好了）。在这个式子中，如果每个复数都是$cosx+isinx$cosx+isinx，那么依然能够推导出上面的那个式子。

愚蠢的$HP:$HP:我仿佛从这个式子里看到了$n$n倍角！
聪明的$txl:$txl:这就是我要说的。你把右侧打开，就能得到$n$n倍角公式！
愚蠢的$HP:$HP:那怎么打开呢？
聪明的$txl:$txl:现在就是二项式定理出场的时候了！

欲知后事如何，请听下回因式分解。