初识假设检验
1. 什么是假设检验 (Hypothesis test)
假设检验是先对总体参数提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的过程。
它采用逻辑上的反证法和依据统计上的小概率原理。小概率思想认为小概率事件在一次实验中基本不可能发生，所以我们假设检验的逻辑是：如果在愿假设正确的前提下，检验统计量的样本观测值出现了小概率事件，我们有理由怀疑愿假设的真实性，从而否定它，转而接受被泽假设。
换句话说
假设检验就分为 假设 和 检验 两步骤,先提出假设，之后验证假设是不合理的。
2. 假设检验的两类错误
第 I 类错误(弃真错误)： 零假设为真时错误地拒绝了零假设。犯第 I 类错误的最大概率记为 α（alpha）。
第 II 类错误(取伪错误)： 零假设为假时错误地接受了零假设。犯第 II 类错误的最大概率记为 β（beta）。
在假设检验中，我们可能在决策上犯这两类错误。一般来说，在样本量确定的情况下，任何决策无法同时避免这两类错误的发生，即在减少第一类错误发生的同时，会增大第二类错误发生的几率，或者在减少第二类错误发生的同时，会增大第一类错误发生的几率。要使α和β 都同时减小，除非增加样本的容量。
因此，统计学家奈曼与皮尔逊提出了一个原则：即在控制犯第一类错误的概率????情况下，尽量使犯第二类错误的概率????小。人们通过事先给定显著性水平α的值来控制第一类错误发生的概率，常用的 α 值有 0.01，0.05，0.1。如果犯第一类错误的成本不高，那么可以选择较大的α值；如果犯第一类错误的成本很高，则选择较小的α值。
注：人们将只控制第一类错误的假设检验称为显著性检验，许多假设检验的应用都属于这一类型。
3. 假设检验的基本术语
零假设( null hypothesis )： 试验者想收集证据予以反对的假设，也称为原假设， 通常记为 .
被泽假设( alternative hypothesis )： 试验者想收集证据予以支持的假设，通常记为 或 .
单尾检验（one-tailed test）： 如果备择假设具有特定的方向性，并含有符号 “>” 或 “<” ，这样的检验称为单尾检验。单尾检验分为左尾（lower tail）和右尾（upper tail）。
当出现关键词 不得少于/低于 的时候用左尾，比如灯泡的使用寿命不得少于/低于700小时
当出现关键词 不得多于/高于 的时候用右侧，比如次品率不得多余/高于5%
双尾检验(two-tailed test)： 如果备择假设没有特定的方向性，并含有符号“≠”，这样的检验称为双尾检验。
显著性水平(level of significance)： 当零假设为真时，错误拒绝零假设的临界概率，即犯第一类错误的最大概率，用α表示。
例如：在5%的显著性水平下，样本数据拒绝原假设。我们一般认为 P-value<=0.05 就可以认为假设是不正确的。0.05这个标准就是显著水平，当然选择多少作为显著水平也是主观的。
再举个例子，小明抛硬币猜面，取单侧P值，我们假设小明不能猜出正确的面，如果10次猜对9次：
P-value = P(9<=X<=10) = 0.01 <= 0.05
那么我们刚开始的假设就错的很“显著”。
置信度 (confidence level )： 置信区间包含总体参数的确信程度，即1-α。
例如：95%的置信度表明有95%的确信度相信置信区间包含总体参数（假设进行100次抽样，有95次计算出的置信区间包含总体参数）。
置信区间(confidence interval)： 包含总体参数的随机区间。
临界值(critical value)： 与检验统计量的具体值进行比较的值。是在概率密度分布图上的分位数。这个分位数在实际计算中比较麻烦，它需要对数据分布的密度函数积分来获得。
临界区域（critical region）： 拒绝原假设的检验统计量的取值范围，也称为拒绝域（rejection region），是由一组临界值组成的区域。如果检验统计量在拒绝域内，那么我们拒绝原假设。
检验统计量( test statistic )： 用于假设检验计算的统计量。
例如：Z值、t值、F值、卡方值。
p值 (p-value)： 在零假设为真时所得到的样本观察结果或获得更极端结果的概率。也可以说，p值是当原假设为真时，错误拒绝原假设的实际概率。
左尾检验的P值为检验统计量x小于样本统计值C的概率，即：p = P( x < C)
右尾检验的P值为检验统计量x大于样本统计值C的概率，即：p = P( x > C)
双尾检验的P值为检验统计量x落在样本统计值C为端点的尾部区域内的概率的2倍，即：p = 2P( x > C) (当C位于分布曲线的右端时) 或p = 2P( X< C) (当C 位于分布曲线的左端时) 。
4. 假设检验的步骤
5. 具体实例
（1）
某机床厂加工一种零件，根据经验知道，该厂加工零件的椭圆度近似服从正态分布，其总体均值为μ=0.081mm，总体标准差为σ= 0.025 。今换一种新机床进行加工，抽取n=200个零件进行检验，得到的椭圆度为0.076mm。试问新机床加工零件的椭圆度的均值与以前有无显著差异？（α＝0.05）
由于我们已经知道总体均值和总体方差，根据检测统计量的规则，我们可以直接用 z 统计量
（2）
某种元件的寿命x（小时），服从正态分布，N（mu,sigma2），其中mu，sigma2均未知，其中抽样的16只元件的寿命如下：
159 280 101 212 224 379 179 264
222 362 168 250 149 260 485 170
问是否有理由认为元件的平均寿命等于250小时？
这里采用 z 检测
（是随机样本均值， 是总体均值，s 是样本标准差，n 是样本中的观察值数量，自由度为 n-1）
在总体均值的假设值中输入250即可在p值中出现上侧、下侧、双侧的p值。因为双侧检验p值为0.735>0.05，所以不能拒绝原假设（=250），拒绝备择假设（不等于250），因此认为在0.05的显著性水平下,测量元件寿命与250没有显著性差异，也就是以95%的概率接受元件寿命等于250的结论。
参考资料：
[1] 统计学基础–假设检验
[2] 假设检验
[3] 统计学中的假设检验
[4] #简单统计学#单样本t检验